Cuando se hace QFT escalar, normalmente se imponen las famosas 'relaciones de conmutación canónicas' en el campo y el momento canónico:
Al considerar el campo de Dirac (espinor), es habitual (ver, por ejemplo, la página 107 de las notas de Tong o el libro de Peskin & Schroeder) proceder de manera análoga (reemplazando los conmutadores con anticonmutadores, por supuesto). Nosotros postulamos
Siempre acepté esto y creí en los cálculos presentados en las fuentes mencionadas anteriormente, pero de repente me encuentro con dudas: ¿Estas relaciones tienen algún sentido para el campo de Dirac? Desde es un espinor de 4 componentes, realmente no veo cómo uno puede tener sentido de la ecuación anterior: ¿No es a matriz, mientras es un numero?! ¿Tenemos que hacer el cálculo (spinor-) componente por componente? Si este es el caso, entonces creo que veo algunas dificultades (en los cálculos habituales se necesita una identidad que depende de que los 4 espinores sean realmente 4 espinores). ¿Se evitan de alguna manera? Una explicación detallada sería muy apreciada.
Como seguimiento, considere lo siguiente: Generalmente se encuentran términos como este en el cálculo:
EDITAR : Me acabo de dar cuenta de que la relación de conmutación correcta quizás sustituye con (esto puede evitar cualquier problema que surja en un cálculo por componentes). Por favor, siéntase libre de usar cualquiera en una respuesta.
Por lo general, se parte del CCR para los operadores de creación/aniquilación y se derivan de allí las reglas de conmutación para los campos. Sin embargo, uno puede comenzar desde cualquiera (ver por ejemplo aquí sobre esto). Supongamos que queremos partir de las reglas de anticonmutación de igual tiempo para un campo de Dirac :
y queremos derivar el CCR para los operadores de creación/aniquilación:
Ahora solo tienes que insertar en el anticonmutador en el LHS de (3) estas expresiones y usar (1) (puedo ampliar un poco este cálculo si lo necesitas).
la mayoría de las fuentes simplemente "tiran del fuera de los conmutadores para obtener (anti) conmutadores de solo los operadores de creación/aniquilación. ¿Cómo se justifica esto?
Hay una gran diferencia entre un espinor de polarización y un operador de creación/destrucción .
Para polarización fija y el impulso , es un espinor de cuatro componentes, lo que significa que para cada . Por el contrario, para polarización fija y el impulso , es un operador en el espacio de Fock . No solo un número, lo que hace que las preguntas sobre (anti)conmutadores sean significativas.
\overset{\leftrightarrow}{\partial}
\leftrightarrow
:
. Puedes poner eso encima usando \overset{up}{down}
:
.
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