Conmutación de operadores de momento lineal y angular

Deben tener relaciones de conmutación no triviales, ya que todos los operadores vectoriales tienen ciertas relaciones de conmutación con los operadores de momento angular, debido a que generan rotaciones y los vectores se transforman bajo la rotación de una manera específica.

Las relaciones también se pueden derivar directamente para el impulso:

$$\begin{align*} [p_i, L_j] &= \varepsilon_{jlm}[p_i, x_lp_m] = \varepsilon_{jlm} \big(x_l [p_i, p_m] + [p_i, x_l]p_m \big) = -\varepsilon_{jlm} i\hbar \delta_{il} p_m = i\hbar\varepsilon_{ijm}p_m. \end{align*}$$

Sin embargo, el término$[L_x, p_x]$usted calcula es de hecho cero ya que$\varepsilon_{xxj} = 0$para todos$j$, pero$[L_y, p_x]$y$[L_z, p_x]$no son.

Sobre la declaración general

El operador para una rotación espacial alrededor del eje.$\vec \varphi$por el ángulo dado por su valor absoluto en mecánica cuántica viene dado por$U = e^{-\frac i \hbar \vec \varphi \cdot \vec L}$(esto corresponde a la forma$T = e^{-\frac i \hbar \vec a \cdot \vec p}$implementa traducciones espaciales en los estados). La matriz de rotación correspondiente es${}^1$ $A = e^{\vec \varphi \times}$y los componentes de los valores esperados de los operadores vectoriales$\vec v$en todos los estados (y por lo tanto los componentes de los operadores vectoriales) deben transformarse de acuerdo con${}^2$:

$$\begin{align*} U \vec v U^\dagger = A\vec v. \end{align*}$$ los operadores $U$y $A$trabajar de diferentes maneras aquí, el operador $A$transforma entre los componentes del vector, por lo que el rhs lee $A_{ij}v_j$en componentes, en el lado izquierdo el operador $U$es un escalar, en el sentido de que $U$actúa sobre cada componente de $\vec v$independiente, es decir $v_i$se transforma en alguna combinación lineal de los componentes de $\vec v$.

Ahora miramos el componente$i$y usa la formula${}^3$ $e^{-B}Ae^B = e^{[B, \cdot]}A$para expandir el lado izquierdo de la fórmula de transformación y expandir el exponencial en el lado derecho:

$$\begin{align*} U^\dagger v_i U &= \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{\hbar^n n!} [\varphi_m L_m, \cdot]^n v_i = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\vec \varphi \times)^n_{ij} v_j}{n!} = \big(e^{\varphi \times}\vec v \big)_i. \end{align*}$$ Al comparar coeficientes (en términos de potencias de componentes de $\varphi$) en el lado izquierdo y derecho, llegamos a: $$\begin{align*} (i/\hbar)^n[\varphi_mL_m, \cdot]^n v_i &= (\vec \varphi \times)^n_{ij}v_j. \end{align*}$$ Tomando $n = 1$da: $$\begin{align*} (i/\hbar)\varphi_m[L_m, v_i] &= \varepsilon_{ikj} \varphi_k v_j & [L_m, v_i] &= -i\hbar \varepsilon_{imj} v_j & [L_m, v_i] &= i\hbar\varepsilon_{mij} v_j \end{align*}$$ (La segunda ecuación sigue comparando coeficientes, tenga en cuenta que $\vec \varphi$puede elegirse arbitrariamente). Se deja como ejercicio al lector demostrar que este conmutador derivado del término de primer orden cumple la ecuación en todos los órdenes.

De hecho, esta discusión se puede extender a los operadores tensoriales de cualquier orden, incluidos los escalares (todos los escalares conmutan con los componentes del momento angular, ya que$U^\dagger s U = s$).

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${}^1$Esta notación considera$\vec\varphi \times$como el operador lineal que mapea un vector$\vec v$a$\vec\varphi \times \vec v$, en componentes este operador lineal viene dado por la matriz$(\vec \varphi \times)_{ij} = \epsilon_{ikj} \varphi_k$.

${}^2$Por lo general, el momento angular orbital se obtiene, al revés, prescribiéndolo en términos del comportamiento de transformación y la cantidad conservada correspondiente en el caso de una simetría de rotación.

${}^3$la notación$[A, \cdot]$denota el superoperador$[A, \cdot] \colon B \mapsto [A, B]$, esto significa$[A, \cdot]^n = \underbrace{[A, [A, \cdots [A, B]\cdots]]}_{\text{$n$ commutators}}$.