Modelo de enlace apretado en grafeno

Question

Modelo de enlace apretado en grafeno

jose

Estoy siguiendo un cálculo realizado por un tipo que lo hizo un poco diferente a lo que hice antes (usó vectores vecinos más cercanos y un DFT en lugar de lo que mostraré a continuación), no estoy muy seguro de cómo invertir esto expresión que da.

Estamos buscando formular la imagen de unión estrecha para el grafeno, usando la convención $\mathbf{r} = l \mathbf{a_1} + j \mathbf{a_2}$ para la posición de la celda unitaria, y el número $s = 1,2$ para el átomo intracelular. El estado 1 se encuentra en la posición $\mathbf{r}$ . El potencial en el sitio es $\epsilon_0$ y el potencial de salto es $t_0$ como siempre.

El hamiltoniano de esta imagen está escrito en base a orbitales localizados $\left| \mathbf{r} , s\right>$ .

\begin{aligned} \hat{H} & = \sum_{r} (\sum_{s = 1, 2} | r, s ⟩ ϵ_{0} ⟨ r, s |) \\ + | r, 1 ⟩ t_{0} (⟨ r, 2 | + ⟨ r - a_{1}, 2 | + ⟨ r - a_{2}, 2 |) \\ + | r, 2 ⟩ t_{0} (⟨ r, 1 | + ⟨ r + a_{1}, 1 | + ⟨ r + a_{2}, 1 |) \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} &= \sum_\mathbf{r} \biggl(\sum_{s=1,2} \left|\mathbf{r},s\right> \epsilon_0 \left<\mathbf{r},s\right|\biggr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},1\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},2\right| + \left<\mathbf{r} - \mathbf{a_1},2\right| + \left<\mathbf{r} - a_2 , 2\right|\bigr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},2\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},1\right| + \left<\mathbf{r} + \mathbf{a_1},1\right| + \left<\mathbf{r} + a_2 , 1\right|\bigr)\end{align}$

Para hacer esto un poco más claro sin dibujar un diagrama, la línea superior obviamente se refiere al potencial en el sitio y la segunda y tercera al salto vecino más cercano (es decir, el electrón en el átomo 1 salta al átomo 2 ya sea en la misma celda unitaria o en la misma celda). en $r-a_1$ o $r-a_2$ ).

Aquí es donde empieza a ponerse confuso para mí, el siguiente paso es usar el teorema de Bloch, los vectores propios para el hamiltoniano están dados por:

| k, α ⟩ = \frac{1}{\sqrt{{norte}_{C}}} \sum_{r} \sum_{s = 1}^{2} {mi}^{i k \cdot r} A_{s} | r, s ⟩

$\left|\mathbf{k}, \alpha\right> = \frac{1}{\sqrt{N_C}} \sum_\mathbf{r} \sum^2_{s=1} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} A_s \left|\mathbf{r},s\right>$

dónde $A_s$ son coeficientes, $N_C$ factor de normalización. Cuando realicé el método TBM para el grafeno en el pasado, usé una Transformada de Fourier discreta para obtener una expresión para el estado en el espacio de cantidad de movimiento, la invertí y la volví a poner en el hamiltoniano original, dando una expresión para el hamiltoniano en k- espacio. Supongo que es una técnica similar en este caso y mi pregunta principal sería cómo invertir la expresión anterior si este es el caso. ¡La suma de s me confunde cuando trato de hacer esto!

Además

1) ¿Cómo llegamos exactamente a esto usando el teorema de Bloch? Sé que en la TBM buscamos funciones propias que son una combinación lineal de orbitales, y que la expresión se parece un poco a eso. ¿Está la expresión anterior en el espacio recíproco?

2) El $\alpha$ se usa más tarde para referirse a las bandas positivas o negativas (conducción o valencia), ¿se incluye aquí por conveniencia y continuidad para más adelante o ya hay una manera de inferir eso del hamiltoniano o de la celda unitaria? No está haciendo nada en la expresión en este momento, pero ¿se usa de alguna manera cuando la invertimos (tal vez como un espacio k equivalente a s=1 o 2)?

3) Supongo que el resultado de aplicar esa ecuación al hamiltoniano es que obtienes una matriz de 2x2 del hamiltoniano en el espacio k, la diagonalizas y encuentras los valores propios de la energía.

Realmente agradecería algo de ayuda con esto, he estado buscando cosas en línea todo el día, pero todos lo hacen de manera diferente, ¡omiten cosas y usan una notación diferente!

genero

Creo que tal vez esto debería tener una etiqueta de tarea, solo porque el conocimiento necesario para que el OP entienda es tan mínimo que es difícil justificar una respuesta larga.

genero

Lo que debe tener en cuenta es que hay 2 átomos por punto de red, que es donde la suma

s

$s$ viene de. Aplicar el teorema de Bloch es en realidad solo transformada de Fourier con otro nombre. Ya tienes los puntos 2 y 3 cubiertos.

david z

@genneth: el criterio para la etiqueta de tarea es que el valor previsto de la pregunta no es la solución en sí, sino la demostración del método utilizado. No creo que eso se aplique aquí. user8469, ¿es esto realmente un problema de tarea o un ejercicio de autoaprendizaje? (también, ¿les gustaría que fusionáramos sus dos cuentas?)

jose

Hola, gracias por la respuesta, sé de dónde viene la s, pero mi problema es ver cómo invertir la expresión como lo ha hecho él. He hecho el cálculo de TBM antes y cuando invierto la transformación, nunca ha habido esta suma sobre s desde que ignoré la celda unitaria desde el principio y solo hice NN para un átomo y el cc Mi único problema con esto es cómo manejar el suma sobre s al invertir la transformación, y cómo manejar el alfa.

jose

Hola David, este es un ejercicio de autoaprendizaje, pero podría tratarse como "tarea" en el sentido de que mi pregunta es más sobre la metodología empleada al invertir la expresión de los vectores propios |k,a> si eso tiene sentido.

david z

Especie de. La cuestión es que el ejercicio real que estás haciendo es sobre otra cosa, y la inversión es solo una herramienta matemática, no el punto principal del ejercicio, por lo que me sugiere que tal vez la etiqueta de tarea no sea realmente necesaria aquí. Pero no es un gran problema, en cualquier caso, no es que realmente tratemos las preguntas de tarea de manera diferente.

Respuestas (1)

Modelo de enlace apretado en grafeno

Creo que tal vez esto debería tener una etiqueta de tarea, solo porque el conocimiento necesario para que el OP entienda es tan mínimo que es difícil justificar una respuesta larga.
Lo que debe tener en cuenta es que hay 2 átomos por punto de red, que es donde la suma $s$ viene de. Aplicar el teorema de Bloch es en realidad solo transformada de Fourier con otro nombre. Ya tienes los puntos 2 y 3 cubiertos.
@genneth: el criterio para la etiqueta de tarea es que el valor previsto de la pregunta no es la solución en sí, sino la demostración del método utilizado. No creo que eso se aplique aquí. user8469, ¿es esto realmente un problema de tarea o un ejercicio de autoaprendizaje? (también, ¿les gustaría que fusionáramos sus dos cuentas?)
Hola, gracias por la respuesta, sé de dónde viene la s, pero mi problema es ver cómo invertir la expresión como lo ha hecho él. He hecho el cálculo de TBM antes y cuando invierto la transformación, nunca ha habido esta suma sobre s desde que ignoré la celda unitaria desde el principio y solo hice NN para un átomo y el cc Mi único problema con esto es cómo manejar el suma sobre s al invertir la transformación, y cómo manejar el alfa.
Hola David, este es un ejercicio de autoaprendizaje, pero podría tratarse como "tarea" en el sentido de que mi pregunta es más sobre la metodología empleada al invertir la expresión de los vectores propios |k,a> si eso tiene sentido.
Especie de. La cuestión es que el ejercicio real que estás haciendo es sobre otra cosa, y la inversión es solo una herramienta matemática, no el punto principal del ejercicio, por lo que me sugiere que tal vez la etiqueta de tarea no sea realmente necesaria aquí. Pero no es un gran problema, en cualquier caso, no es que realmente tratemos las preguntas de tarea de manera diferente.

misha · Answer 1

1) El teorema de Bloch surge del hecho de que el grupo de traslaciones es Abel, por lo que sus representaciones están definidas por el número que se llama $\mathbf{k}$ . Significa que cuando traduces (digamos por vector $\mathbf{a}$ ) la función de onda con dada $\mathbf{k}$ se multiplica por exponente $e^{i\mathbf{ka}}$ (más o menos por definición), lo que le da exactamente esta forma de la función de onda.

2) $\alpha$ enumera las soluciones del hamiltoniano. Diferentes soluciones tienen diferentes conjuntos de coeficientes de unión estrecha $A_s$ .

3) Sí. Debe poner la función de onda de esta forma en el hamiltoniano del espacio real y obtener una matriz de 2x2 parametrizada por $\mathbf{k}$ que te da energías y coeficientes $A_s$ si resuelves este problema propio.

Le recomiendo que lea algún libro con un capítulo sobre encuadernación estrecha (por ejemplo, "Fundamentos de Semiconductores" de Yu, Cardona).

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