¿Cómo dar sentido a las ecuaciones diferenciales de campos cuánticos?

Un campo cuántico es una función con valor de operador, es decir, una función φ ( X ) definido en el espacio-tiempo que asigna operadores en un espacio de Hilbert a cada evento X . En un enfoque más riguroso, un campo cuántico podría definirse como una distribución de valor de operador en el espacio-tiempo.

De todos modos, es bastante común que estos campos cuánticos obedezcan a ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Klein-Gordon.

( ◻ + metro 2 ) φ = 0
y la ecuación de Dirac
( i γ m ∂ m − metro ) ψ = 0.

En ese sentido necesitamos entender qué es la derivada de un campo cuántico. En esto parece un poco complicado.

Por supuesto, uno puede decir: "un campo cuántico toma valores en un espacio de Hilbert, por lo que puede usar la derivada de Frechet", pero ni siquiera está claro en qué espacio de Hilbert es donde los campos cuánticos toman valores. Además, como se desprende claramente de Quantum Mechanics, la mayoría de los operadores que tratamos en QM son ilimitados y, por lo tanto, discontinuos. Creo que esto tendría un gran impacto sobre cómo deberíamos tratar cosas como los derivados.

Entonces, para que los campos cuánticos satisfagan las ecuaciones diferenciales, ¿cuál es la forma correcta de definir y comprender la derivada de un campo cuántico? ¿Cómo podemos dar sentido a las ecuaciones diferenciales de campo cuántico?

No sé específicamente sobre la teoría cuántica de campos, pero en matemáticas a menudo queremos diferenciar una función que no es realmente diferenciable, y tenemos un marco general de "derivadas débiles" para saber cómo hacerlo.

Respuestas (1)

Los campos de una QFT no son funciones de las coordenadas espaciales X ∈ R norte , pero distribuciones valoradas por operadores (tomando prestada la terminología de Wightman). La noción de que los campos son funciones del tiempo ("campos de tiempo agudo") se puede mantener en general, pero su dependencia de X es "demasiado singular", por lo que se convierten en distribuciones; los campos necesitan ser manchados en el espacio.

Por lo tanto, debemos escribir ϕ [ F ] en lugar de ϕ ( X ) , de la misma manera deberíamos escribir d [ F ] para el delta de Dirac. En este sentido, las relaciones de conmutación

[ ϕ ( X ) , π ( y ) ] = d ( X − y )
debe escribirse como
[ ϕ ( F ) , π ( gramo ) ] = ( F , gramo )
para un cierto producto escalar ( ⋅ , ⋅ ) en su espacio de funciones de prueba (que depende del giro de ϕ ).

De manera similar, las ecuaciones de campo

π ˙ ( X ) − Δ ϕ ( X ) + metro 2 ϕ ( X ) = 0
en realidad debería escribirse como
π ˙ [ F ] − ϕ [ Δ F ] + metro 2 ϕ [ F ] = 0

De manera más general, las ecuaciones de campo ingenuas

D ϕ ( X ) = 0
no son más que una notación abreviada para
ϕ [ D F ] = 0
para todos F en el dominio de ϕ . Por lo tanto, las derivadas que actúan sobre campos deben entenderse en el sentido de derivadas distribucionales (si T es una distribución, entonces definimos T ′ [ F ] ≡ − T [ F ′ ] , etc.).

Para las teorías libres, todo el marco de las distribuciones con valores de operadores se comprende perfectamente y se puede trabajar con todo el rigor matemático que se desee. Sin embargo, para las teorías que interactúan, estamos lejos de ser una teoría matemáticamente sólida.

Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, Sobre campos cuánticos irreducibles relativistas que cumplen con CCR o el teorema de Haag en teorías de campos cuánticos renormalizados . Además, cualquier cosa de Wightman (p. ej., PCT, Spin and Statistics y All That ).

Gracias @AccidentalFourierTransform. Ese es un enfoque bastante bueno, ya que cambia la derivada del campo cuántico a las funciones sobre las que actúa. Sin embargo, tengo una pregunta: las distribuciones están perfectamente definidas en el espacio-tiempo plano donde tenemos disponible el espacio de Schwartz. Pero, ¿qué pasa con el espacio-tiempo curvo? Allí no tenemos disponible el espacio de Schwartz. ¿Qué ocurre entonces con los campos cuánticos?
@ user1620696 Me temo que realmente no sé mucho sobre QFT en tiempos de espacio curvo. Hasta donde yo sé, no existe una generalización directa de los axiomas de Wightman a variedades curvas, por lo que, en principio, está lejos de ser obvio cómo se intentaría abordar tratamientos rigurosos de QFT que no sean en Minkowski. Creo que es un problema abierto en su mayor parte. No estoy familiarizado con ningún intento serio de construir distribuciones con valores de operador en el espacio-tiempo curvo (pero estoy seguro de que la gente debe haber estudiado esto en detalle).
Acabo de encontrar el documento 1401.2026 que parece abordar exactamente lo que pediste. Véase también 0907.0416 . ¡Wald te tiene cubierto!
@AccidentalFourierTransform: con respecto a la construcción de distribuciones sobre un espacio-tiempo curvo, tomar mapas locales en ese espacio-tiempo curvo le permite definir distribuciones locales, y como el espacio Schwarz más común usa la función de prueba con soporte compacto, ¿no tenemos allí todo lo que se necesita? para tal construcción? Por cierto, creo que deberías hacer algunos esfuerzos en tu notación: "deberíamos escribir ϕ [ F ] en lugar de ϕ ( X ) " no tiene ningún sentido, aparte de quién sabe ya lo que podrías haber querido decir.
+1. Hola; si puedo pedirle alguna referencia sobre la naturaleza de distribución de valores de operador de los operadores de campo cuánticos. Tal vez una referencia para un análisis aún más básico de la necesidad de comprender los campos cuánticos de esa manera; las notas básicas de QFT que poseo (Srednicki, Greiner) no analizan el tema más allá de la naturaleza funcional básica del Lagrangiano. Gracias.
@ConstantineBlack consulte arxiv.org/abs/1602.00662 y, en particular, el teorema 9.1
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