¿Cómo calculo la inercia rotacional experimental y teórica de una masa puntual?

Momento de inercia
La definición de momento de inercia (masa) de una masa puntual es

$$I=r^2m$$ Sin embargo, en el mundo real no encuentra masas puntuales, sino objetos con volumen distinto de cero (densidad finita). Y conduce a una integral para determinar el momento de inercia. $$I=\int_m{r^2dm}=\int_V{\rho(r)r^2dV}=\int_x{\int_y{\int_z{\rho(x,y,z)(x^2+y^2+z^2)dz}dy}dx}$$ Las soluciones de esta integral de unos pocos cuerpos, con densidad constante distinta de cero dentro del volumen geométrico y densidad cero fuera de él, se pueden encontrar aquí . Por ejemplo, el momento de inercia de una varilla delgada que gira alrededor de su centro de masa es igual a $I=\frac{mL^2}{12}$y para un cilindro macizo $I=\frac{mL^2}{2}$.
Configuración experimental
En su experimento, una cuerda está conectada en un extremo a la masa colgante, pasa por encima de la polea y luego se enrolla alrededor de un tambor (el otro extremo también está conectado al tambor). Este tambor es del objeto del que le gustaría determinar su momento de inercia y se supone que puede girar libremente (sin deslizamiento) alrededor de su eje.
De acuerdo con su documentación, mide cuánto ha girado la polea, llamaré a este ángulo $\theta$, y su primera y segunda derivada temporal $\omega=\dot{\theta}$y $\alpha=\ddot{\theta}$.
El desplazamiento de la masa colgante está relacionado con el desplazamiento angular de la polea y su radio, $r_p$, asumiendo que la cuerda no se desliza, entonces $$s=r_p\theta$$ dónde $s$es el desplazamiento vertical hacia abajo de la masa colgante.
Este desplazamiento es igual a la cantidad de cuerda desenrollada del tambor (asumiendo que la cuerda no es elástica), lo que significa que el desplazamiento angular del objeto del que le gustaría determinar el momento de inercia, lo llamaré $\theta_I$, se puede calcular a partir de esto al revés usando el radio del tambor $r_d$ $$s=r_p\theta=r_d\theta_I\rightarrow\theta_I=\frac{s}{r_d}=\frac{r_p}{r_d}\theta$$ Esta correlación lineal también se aplica a la $\omega$y $\alpha$.
La única fuerza aplicada sobre este sistema (que puede realizar trabajo) es la gravedad sobre la masa colgante. Usando todo esto, puede derivar la ecuación de movimiento (posiblemente usando diagramas de cuerpo libre y tensión en la cuerda).