¿Cómo averiguó la gente la fórmula del trabajo mecánico y la relacionó con la energía?

Fue un efecto secundario de la controversia vis viva descrita en ¿ Qué fue la controversia vis viva, incluidos sus aspectos filosóficos? sobre cómo llamar a la "cantidad de movimiento", impulso (vis mortua, fuerza muerta) o energía cinética (vis viva, fuerza viva). Desde la conservación de$mv^2$en las colisiones elásticas llevó a señalar la vis viva como un concepto útil, se podría decir que desempeñó un papel en su relación con el trabajo mecánico, indirectamente. Otros conceptos e interrelaciones de la mecánica también se aclararon en el curso de este "debate sobre las palabras", lo que resultó en las presentaciones clásicas de la mecánica de Euler y D'Alambert a las que estamos acostumbrados.

La intuición sobre el trabajo provino de Boscovich en De Viribus Vivis (1745), se refleja en la segunda edición del Traite de Dynamique de D'Alambert (1758), que se convirtió en un texto estándar. Basado en el trabajo de Costabel, en D'Alambert and the Vis Viva Controversy, Carolyn Iltis explica el proceso de pensamiento de Boscovich, que es metafísico y un poco turbio:

Empleando tanto las antiguas categorías escolásticas como los nuevos métodos matemáticos de su tiempo, Boscovich discutió la representación gráfica de una presión aplicada a través de un tiempo y una fuerza aplicada sobre una distancia... La presión, una presencia activa (puissance ) , pasa a acción no por multiplicación de efectos sino por la generación de una imagen bidimensional representada adecuadamente sólo por la geometría.

Sin tomar posición sobre la definición de fuerza, Boscovich midió la velocidad adquirida como un cociente compuesto por la presión y su duración. Una imagen geométrica es generada por la línea que representa la presión con el tiempo como la segunda dimensión del diagrama. La presión es así una función del tiempo. Interpretando esto en terminología moderna, el impulso$mv$se representaría como la integral de estas presiones instantáneas (o impulsos) durante un tiempo, o$\int mdv = \int pdt$.

Boscovich sugirió que, si se reemplaza la coordenada de tiempo por el espacio atravesado y la coordenada de presión por la fuerza que en cualquier instante produce la velocidad proporcional a ella, se representa un segundo aspecto del fenómeno. Boscovich, sin embargo, no explicó ni esta sustitución ni la introducción del concepto de fuerza. El nuevo término 'fuerza' debe interpretarse como una entidad proporcional a la velocidad engendrada en cualquier instante. Si la coordenada de presión se cambia a la fuerza y ​​la coordenada de tiempo al espacio, entonces la nueva imagen geométrica que produce la velocidad se representaría en notación moderna como$\int Fds$. Entonces interpretaríamos vis viva como$\int mvdv = \int Fds$(dónde$ds=vdt$). Boscovich no incluye la masa en este análisis.