¿Dónde patear una pelota para lograr que ruede durante todo el movimiento?

Suponga que tiene una bola inmóvil de radio$R$descansando sobre un plano horizontal con coeficiente de fricción finito$\mu$. Pateas la pelota a una altura$h$sobre el suelo a lo largo de la dirección horizontal y observe su movimiento. quieres encontrar$h$donde comienza con puro rodar, en lugar de deslizarse.

Este es el problema del eje de la percusión , y es bastante simple de resolver.

lo importante es la masa de la pelota$m$, y el momento de inercia de la masa con respecto al centro de masa$I$.

el impulso$J$de la patada puede causar un impulso de reacción$G$del suelo, y la fricción es baja, esta reacción es de magnitud limitada debido a la tracción antes de que la pelota se deslice. Así que el objetivo aquí es encontrar$h$tal que$G=0$.

Las ecuaciones de movimiento (horizontal y rotacional) son:

$$\begin{aligned} J - G & = m v \\ J (h-R) + G R & = I \omega \\ \end{aligned}$$

y la condición de rodadura pura es$v = \omega R$

La solución de las dos ecuaciones anteriores es

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{h}{I+m R^2} J \\ G & = J - \frac{h\,R\,m}{I+m R^2} J \end{aligned}$$

Para lograr el objetivo de$G=0$, resuelve la segunda ecuación para$h$

$$\boxed{ h = R + \frac{I}{m\,R} }$$

El movimiento resultante es entonces

$$\begin{aligned} \omega &= \frac{J}{m\,R} & v & = \frac{J}{m} \end{aligned}$$

NOTA: El eje de precusión definido por$h$siempre está por encima del centro de masa, y eso tiene sentido ya que si estuviera cerca del centro de masa, la pelota intentaría trasladarse (y resbalar).

Referencias:

• Las mismas matemáticas para un problema relacionado , aunque invertidas.
• Un análisis aún más detallado , de cómo deslizar eficientemente un bolo (el problema opuesto).