¿Cómo actúan los operadores de segunda cuantización en estados de números cuánticos "incompatibles"?

En física del estado sólido, podríamos describir sistemas usando una segunda cuantización y usar la base de Bloch para los estados del sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, para crear un electrón en la banda norte en k :

a norte k † | 0 ⟩ = | norte k ⟩

Mi pregunta es, ¿cómo funcionaría un operador de aniquilación general? a metro k ′ actuar sobre el estado | norte k ⟩ dónde norte ≠ metro y más importante k ′ ≠ k ? Claramente, el caso especial donde norte = metro y k ′ = k establece el sistema de nuevo en el estado de vacío. Pero, ¿qué pasa con otros estados?

Por supuesto, esto puede generalizarse a otros sistemas mecánicos cuánticos: ¿cómo actúan los operadores de aniquilación en estados que los operadores de creación correspondientes no crearon?

Respuestas (1)

El operador a metro k ′ solo funciona en el estado k' en la banda m. Si ningún electrón está en este estado dentro de esta banda, entonces el resultado es 0. Eso es lo que sucede si un operador de aniquilación opera en un estado vacío (o, en sus palabras, uno que no creó un operador de creación). El operador para su estado n,k sería a norte k

En la segunda cuantización, todos los operadores se escriben como un par de operadores de creación/aniquilación. Por ejemplo, el operador de número de ocupación se escribe como:

norte r ^ = C r † C r
Tenga en cuenta que si el estado está desocupado, el valor que devuelve este operador es 0, ya que el operador de aniquilación opera primero en un estado vacío. Devuelve 1 si el estado está ocupado. Ambos resultados son correctos.

Ah, sí, ahora lo veo. Si cambia a una representación de estado numérico, entonces | norte k ⟩ = | 0 , 0 , 0 , … , 1 , … , 0 , 0 , 0 ⟩ y el aniquilador actuando en cualquier otro estado que no sea en el que el electrón colapsa todo para 0 .
¡Correcto! Realmente solo tienes un operador de creación o aniquilación, digamos a norte k y los índices de los subíndices recorren los números de las bandas disponibles y los estados de momento.
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