Clasificación de Wigner a través de la estructura de órbita del grupo de Lorentz

Question

Clasificación de Wigner a través de la estructura de órbita del grupo de Lorentz

Física
teoría de grupos
lorentz-simetría
poincaré-simetría
relatividad especial
teoría de la representación

Tomas Bakx

He estado leyendo y escribiendo mucho sobre la Clasificación de Wigner de unitarios irreducibles de (la cobertura universal de) el grupo de Poincaré últimamente, tanto desde la perspectiva de un físico como de un matemático. Estoy tratando de conectar el tratamiento matemático (utilizando el trabajo de Mackey sobre sistemas de imprimitividad) con el tratamiento físico que se suele ver en los libros de texto sobre teoría cuántica de campos (como Weinberg). Mi pregunta es la siguiente:

En el tratamiento matemático, se calcula la estructura orbital de la acción del recubrimiento universal $SL(2,\mathbb{C})$ en $\mathbb{R}^{1,3}$ utilizando conjuntos de niveles de la forma lorentziana $\beta$ : para cada órbita $O$ y cada dos puntos $x,y \in O \subset \mathbb{R}^{1,3}$ , las longitudes invariantes de los vectores son las mismas, es decir $\beta(x,x) = \beta(y,y)$ . Este valor común se denota típicamente $m^2$ .

En el tratamiento físico, normalmente se argumenta a través de los operadores de Casimir del álgebra de Lie del grupo de Poincaré, uno de los cuales es $P_\mu P ^\mu$ , el '4-momentum total'. Por irreductibilidad de una representación correspondiente a una partícula elemental, ésta debe actuar por un escalar, que se denota $m^2$ también. En este caso, entiendo por qué este valor debe interpretarse como la masa de la partícula (ver Masa en reposo y Clasificación de Wigner , donde Arnold Neumaier da una buena respuesta).

Mi pregunta es cómo la primera 'definición' de $m^2$ está relacionado con el segundo. Eso es:

¿Por qué la longitud de un vector en un $SL(2,\mathbb{C})$ -órbita igual al valor propio del Casimir $P_\mu P^\mu$ ?

Entiendo que esta es una pregunta muy específica, y cualquier comentario o pensamiento (incluso aquellos que no intentan responder directamente a mi pregunta) son bienvenidos.

octonión

Cada vector en

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ puede considerarse un vector propio de

P_{μ}

$P_\mu$ . Entonces un vector es un vector propio de

P_{μ} P^{μ}

$P_\mu P^\mu$ con un valor propio igual a la longitud del vector.

Tomas Bakx

¿Puedes dar más detalles sobre la primera declaración? ¿Cómo exactamente

P_{μ}

$P_\mu$ guiarse por

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ en sí mismo (incluso por la identidad, parece afirmar)? En la representación asociada a la partícula, el operador

P_{μ} P^{μ}

$P_\mu P^{\mu}$ actúa sobre el espacio de Hilbert (porque el grupo de Poincaré lo hace, así que podemos pasar al álgebra de Lie). Creo que me estoy perdiendo algo.

octonión

Tienes el libro de Weinberg, ¿verdad? Desde el punto de vista de un físico, existe una familia de estados que son vectores propios simultáneos de los cuatro

P_{μ}

$P_\mu$ operadores. En la notación de Weinberg llama a estos estados

Ψ_{p}

$\Psi_p$ dónde

P^{μ} Ψ_{p} = p^{μ} Ψ_{p}

$P^\mu \Psi_p=p^\mu \Psi_p$ . Ahora esta etiqueta

p

$p$ que le dice que los 4 valores propios es exactamente el mapeo a

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ en "la perspectiva del matemático". En el libro de Weinberg también estamos pensando en las órbitas de estos estados bajo el grupo de Lorentz.

Tomas Bakx

Gracias, eso puede ayudar. ¿Puede señalar las páginas específicas tal vez? ¡Si puede convertir sus comentarios en una respuesta, tendrá mi voto a favor!

octonión

Todo está en el capítulo 2.5 a partir de la página 62. En particular, la nota 2.5.3 que dice que una transformación unitaria en el estado es equivalente a una transformación de Lorentz de los valores propios. Su

R^{1, 3}

$\mathbb{R}^{1,3}$ es solo el espacio de valores propios de 4 impulsos

Respuestas (2)

Clasificación de Wigner a través de la estructura de órbita del grupo de Lorentz

Cada vector en $\mathbb{R}^{1,3}$ puede considerarse un vector propio de $P_\mu$ . Entonces un vector es un vector propio de $P_\mu P^\mu$ con un valor propio igual a la longitud del vector.
¿Puedes dar más detalles sobre la primera declaración? ¿Cómo exactamente $P_\mu$ guiarse por $\mathbb{R}^{1,3}$ en sí mismo (incluso por la identidad, parece afirmar)? En la representación asociada a la partícula, el operador $P_\mu P^{\mu}$ actúa sobre el espacio de Hilbert (porque el grupo de Poincaré lo hace, así que podemos pasar al álgebra de Lie). Creo que me estoy perdiendo algo.
Tienes el libro de Weinberg, ¿verdad? Desde el punto de vista de un físico, existe una familia de estados que son vectores propios simultáneos de los cuatro $P_\mu$ operadores. En la notación de Weinberg llama a estos estados $\Psi_p$ dónde $P^\mu \Psi_p=p^\mu \Psi_p$ . Ahora esta etiqueta $p$ que le dice que los 4 valores propios es exactamente el mapeo a $\mathbb{R}^{1,3}$ en "la perspectiva del matemático". En el libro de Weinberg también estamos pensando en las órbitas de estos estados bajo el grupo de Lorentz.
Gracias, eso puede ayudar. ¿Puede señalar las páginas específicas tal vez? ¡Si puede convertir sus comentarios en una respuesta, tendrá mi voto a favor!
Todo está en el capítulo 2.5 a partir de la página 62. En particular, la nota 2.5.3 que dice que una transformación unitaria en el estado es equivalente a una transformación de Lorentz de los valores propios. Su $\mathbb{R}^{1,3}$ es solo el espacio de valores propios de 4 impulsos

David Bar Moshé · Answer 1

La correspondencia entre órbitas de grupo y representaciones es un principio muy general y fructífero que tiene multitud de aplicaciones en física.

Para ser precisos, la correspondencia es entre órbitas coadjuntas y representaciones unitarias irreducibles. Esta correspondencia fue descubierta por AA Kirillov; por favor vea su artículo de revisión sobre el tema.

La correspondencia no es perfecta (no siempre 1:1). Es perfecto para grupos de Lie nilpotentes; es casi perfecto para grupos de Lie compactos. Para grupos de Lie no compactos no es perfecto, pero sin embargo, incluye muchos de los casos físicamente importantes. Para grupos de Lie no compactos del tipo Poincaré que tienen la estructura de un producto semidirecto de un abeliano y un grupo de Lie semisimple, la correspondencia es perfecta.

Las órbitas coadjuntas son las órbitas de la acción coadjunta de un grupo de Lie sobre el dual de su álgebra de Lie. En el caso del grupo de Poincaré es un $10$ espacio de Poisson dimensional. Las órbitas en sí mismas son subespacios simplécticos (en particular, incluso dimensionales). En el caso del grupo de Poincaré en $3+1$ dimensiones, son los conjuntos de nivel de la masa al cuadrado y la magnitud del vector Pauli-Lubański son de la forma $j(j+1)$ . Cuando las órbitas se cuantifican según las reglas de la cuantificación geométrica; la acción del grupo sobre el espacio de Hilbert resultante es a través de una representación unitaria irreductible. El valor del momento angular se cuantifica después de la cuantificación geométrica. Asimismo, para las órbitas sin masa, el valor de la Helicidad se cuantifica después de la cuantificación (ambos a medios enteros).

Para el grupo de Poincaré en $3+1$ dimensiones, todo es realizado explícitamente en los dos artículos siguientes por Cariñena, Gracia-Bondía1, Lizzi, Marmo Várilly y Vitale. La acción cojunta se da explícitamente en las tablas 1 y 2 respectivamente. Consulte también el siguiente artículo de Cushman y van der Kallen. Consulte también mi respuesta a la siguiente pregunta de PSE que trata las órbitas conjuntas en general.

Para una revisión moderna y extensa de la teoría de las órbitas coadjuntas y su cuantización, consulte la siguiente revisión de Oblak (Capítulo 5)

Gracias, definitivamente le echaré un vistazo también! En el caso del producto semidirecto, descubrí una manera de 'derivarlo' explícitamente de la representación inducida, pero no estoy completamente seguro de si esto es riguroso. Lo compartiré más tarde hoy.

NinjaDarth · Answer 2

El proceso se lleva a cabo a nivel pedestre de una manera que salva la división entre la teoría relativista y la no relativista, incluso arrojando el universo "Carrolliano" (llamado en él: el caso "Arquímedes").

Un marco unificado para la clasificación de Wigner simpléctica
https://fdocuments.net/document/a-unified-framework-for-symplectic-wigner-classification.html

Esto podría generalizarse para cubrir todos los grupos cinemáticos en la clasificación de Bacry Levi-Leblond (BLL), de manera uniforme . La razón de la uniformidad es que las variedades de Poisson asociadas con cada uno de los grupos de Lie en esta clasificación se pueden combinar en una sola variedad de Poisson. La clasificación BLL es, de hecho, una familia de tres parámetros de deformaciones del Grupo Estático. Entonces, la variedad de Poisson unificada correspondiente se obtiene simplemente agregando los parámetros como tres coordenadas adicionales. Entonces, la clasificación consiste en las hojas simplécticas de la variedad de Poisson combinada.

(Esto contrasta con lo que sucede si crea la clasificación comenzando con el grupo estático y encontrando todas sus deformaciones. La familia resultante es un poco más grande que la familia BLL y no uniforme en absoluto).

Por lo tanto, se puede hablar de una transición continua entre los diferentes grupos cinemáticos. Esto reemplaza el método de las contracciones del Grupo de Lie y los resultados obtenidos en el mismo.

Un punto clave que vale la pena hacer aquí: la uniformidad solo se puede lograr después de extender centralmente todos los grupos cinemáticos. Para el grupo de Galilei, esto produce el grupo de Bargmann, que se considera más correctamente como el grupo de simetría para la teoría no relativista. En lo que esto se deforma no es en el grupo de Poincaré, sino en su (trivial) extensión central. Todos los miembros de la familia BLL tienen extensiones centrales triviales, excepto aquellos que tienen simultaneidad absoluta (que incluye: Galilei, Static y los dos grupos de Newton-Hooke). Tanto el grupo Estático como el de Carroll (o "Arquímedes") tienen la misma extensión central, aunque la extensión central no es trivial para el grupo Estático.

Esto tiene una relación material con la pregunta de clasificación para la Relatividad de la siguiente manera: nuestra comprensión actual del grupo de Bargmann como el grupo de simetría correcto para la teoría no relativista surgió solo tarde en el juego, en algún momento de la década de 1950, mucho más allá del tiempo que no -La teoría relativista fue reemplazada por la relatividad. Entonces, representa una actualización retro de la física newtoniana. Antes de eso, se entendía que el grupo de Galilei era el grupo de simetría para la teoría no relativista.

Pero la Relatividad, en sí misma, fue formulada con un Principio de Correspondencia que conectaba con la comprensión más antigua de la teoría no relativista. La actualización retroactiva de este último también implica una revisión del Principio de correspondencia: ahora debería volver a apuntar a una teoría que se ha levantado, pero el otro extremo de la flecha del "Principio de correspondencia", en el lado de la relatividad, no se ha levantado para coincida con esta reorientación. También hay que levantarlo. El resultado agrega un undécimo generador, para la extensión central trivial. Hacer esto también aclara otras cuestiones aparentemente oscuras, como por qué el álgebra de Dirac necesita ser compleja o por qué/cómo el "cero de energía es relativo" (como se afirma a menudo en el marco de la teoría cuántica de campos, pero no se justifica a partir de el punto de vista de las representaciones del grupo de Poincaré).

La clasificación resultante es en realidad la misma que para el grupo de Poincaré, pero aparece un grado adicional de libertad en cada subclase, que surge del generador adicional. Para la clase de vacío, el grado extra de libertad corresponde a la "energía de vacío".

Además, la familia BLL, en su totalidad, admite una representación de coordenadas de cinco dimensiones uniforme (pero generalmente no lineal) que incluye la geometría de Bargmann de la teoría no relativista como uno de sus casos. El grupo de Poincaré extendido centralmente está asociado con la geometría que tiene $dx^2 + dy^2 + dz^2 + 2 dt du + (1/c)^2 du^2$ y $ds = dt + (1/c)^2 du$ como sus invariantes, siendo el último invariante el diferencial para el tiempo propio $s$ , sí mismo. La geometría de Minkowski se obtiene estableciendo el invariante anterior en 0 (es decir, como un cono de luz en una geometría de 4+1 dimensiones). Para la teoría no relativista, la geometría correspondiente se obtiene reemplazando cada uno de los $(1/c)^2$ factores por 0.

Si el tiempo lo permite, podría escribirse y actualizarse en un formulario adecuado para JMP. Pero, no es un tema de alta prioridad. Pero probablemente debería ser TeX'ed y limpiado y enviado, aunque prefiero una revista IoP.

Clasificación de Wigner a través de la estructura de órbita del grupo de Lorentz

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Respuestas (2)

David Bar Moshé

Tomas Bakx

NinjaDarth

La duda en el libro de Weinberg sobre la Teoría Cuántica de Campos

Derivación heurística de Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} usando una combinación de argumentos físicos y matemáticos

¿Por qué las funciones de onda relativistas deberían transformarse bajo la transformación de Lorentz y no según Poincaré?

¿Por qué las representaciones de dimensión infinita del grupo de Poincaré no se clasifican en dos semienteros?

Producto directo vs producto tensorial

Espacios vectoriales para las representaciones irreductibles del Grupo Lorentz

Relaciones entre el giro de las representaciones del grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré

Representaciones del grupo de Poincaré

¿En qué se diferencian los índices de espinor de los índices de espacio-tiempo o de Lorentz?

¿Existe un representante irreducible de dimensión finita? del grupo de Poincaré donde las traducciones actúan de manera no trivial?