Relaciones entre el giro de las representaciones del grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré

Primero, tenga en cuenta que si bien puede inducir representaciones unitarias del grupo de Poincaré a partir de representaciones del grupo de Lorentz, en general no son irreducibles (aunque a veces lo son), y las diversas ecuaciones de campo físico (ecuación de Dirac, condición de calibre de Lorentz) en realidad sirven como proyectores sobre los irreps.

Las representaciones unitarias irreducibles en realidad se construyen a través del método de pequeños grupos de Wigner. La construcción es bastante técnica; puede leer los detalles completos en las notas (incompletas) de Figueroa O'Farril que puede encontrar aquí , que requieren familiaridad con los paquetes principales. Así que para responder a sus preguntas:

1. En las notas, se dice en la página 18 sin prueba que todos los irreps unitarios se construyen de esta manera. Desgraciadamente no conozco la prueba.

2. Primero tenga en cuenta que para obtener representaciones de espín de medio entero, debe considerar la doble cubierta del grupo de Poincaré$\mathbb{R}^{(1,3)}\rtimes \text{SL}(2,\mathbb{C})$. Las representaciones construidas serán también representaciones de$\text{SL}(2,\mathbb{C})$ya que está contenido como un subgrupo, entonces sí, la definición de espín será la misma. (Lo que estoy diciendo es que el$(\frac{1}{2},0)$la representación no es en realidad una representación honesta del grupo de Lorentz, sino más bien proyectiva; pero es una representación de su doble portada. Esta es la misma situación que en el caso no relativista con$\text{SU}(2)$y$\text{SO}(3)$). Algunos comentarios:

   • El$(0,0)$,$\left(\frac{1}{2},0\right)$y$\left(0,\frac{1}{2}\right)$las representaciones inducidas por (la doble cubierta del) grupo de Lorentz son irreductibles, es decir, también son inducidas por el método de los pequeños grupos.
   • El giro$1$masivo$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$representación inducida se descompone como un$3$vector dimensional irrep$\oplus$ $1$-irrep escalar dimensional, ambos construidos bajo el método de pequeños grupos; la condición de calibre de Lorentz$\partial_\mu A^\mu=0$sirve como proyector sobre el primero, mientras que el segundo es solo el$(0,0)$irrep. El "giro" sin masa$1$las partículas (es decir, los fotones) no se pueden incrustar en esta representación (ver más abajo).
   • El$\left(0,\frac{1}{2}\right)\oplus\left(\frac{1}{2},0\right)$la representación es obviamente reducible al proyectar sobre los subespacios quirales, pero también se puede demostrar que la ecuación de Dirac también se proyecta en un giro$\frac{1}{2}$irrep que mezcla ambas quiralidades.

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Sin embargo, otra cosa a tener en cuenta es la masa$m$que usted menciona, que también determina la representación; en el caso sin masa no será apropiado hablar de "spin".

Cuando la masa es distinta de cero, el pequeño grupo en cuestión es$\text{SU}(2)$, y el método del pequeño grupo consiste en tomar representaciones unitarias de dimensión finita de él, por lo que podemos hablar de espín como de costumbre. También se puede ver que la masa induce la condición masa-cáscara al elegir un marco de referencia en reposo para la representación, que actúa como la ecuación de Klein-Gordon (razón por la cual ocurre en todas las teorías de campos masivos). El hecho de que en este caso la doble cubierta de$\text{SO}_3$es el grupito no es casualidad; es exactamente el grupo de simetrías del marco de reposo.

Sin embargo, en el caso sin masa, el pequeño grupo está dado por$\mathbb{R}^2\rtimes\text{Spin}_2$, la doble cubierta del grupo euclidiano. Por lo tanto, sus representaciones de dimensión finita se etiquetan con mayor precisión con el nombre de helicidad. No hay marco de reposo para la partícula, por lo que su grupo de simetría viene dado por rotaciones alrededor de su eje de movimiento*: (la doble cubierta de)$\text{SO}(2)$. la presencia de la$\text{Spin}_2$el grupo restringe severamente las posibles representaciones de Lorentz en las que se puede incrustar; no podemos, por ejemplo, describir una partícula de helicidad$\pm1$con el$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$representación, y debemos recurrir a$(0,1)$y/o$(1,0)$(los campos auto-dual y anti-auto-dual respectivamente).

* La parte del avión$\mathbb{R}^2$actúa trivialmente, ya que buscamos representaciones unitarias de dimensión finita del pequeño grupo y$\mathbb{R}^2$no es compacto.