Órbitas coadjuntas en física

Aunque los grupos y sus representaciones ya se aplicaban a la mecánica cuántica casi desde el nacimiento de la teoría cuántica, su papel central fue reconocido en toda su importancia por Eugene Wigner. Su trabajo en cristalografía, espectros atómicos y moleculares, relatividad (representaciones unitarias del grupo de Poincaré), lo llevó a apreciar la gran importancia de los grupos y sus representaciones en la mecánica cuántica.

Después de su trabajo pionero sobre las representaciones grupales de Poincaré, la mayor parte de su trabajo estuvo profundamente conectado con los grupos y sus representaciones. Ya en su trabajo sobre las representaciones del grupo de Poincaré, introdujo el método de las representaciones inducidas. Se dio cuenta de que la simetría de Galileo se realiza como una representación proyectiva (rayo) de las funciones de onda de Schrödinger. También junto con Inönu introdujo la teoría de las contracciones de grupo (y sus representaciones). Hay mucha gente que considera la cuantización y las representaciones de grupo como dos caras de un mismo problema.

Incluí esta larga introducción sobre Wigner, aunque el mismo Wigner (que yo sepa) nunca trabajó en órbitas coadjuntas. Pero todo su importante trabajo (que en realidad cubría todas las áreas principales de la física cuántica) está íntimamente conectado con las órbitas coadjuntas. De hecho, las órbitas coadjuntas pueden servir como un principio unificador de todos los modelos aparentemente separados en los que trabajó Wigner: la clasificación de Wigner de las representaciones del grupo de Poincaré es en realidad una clasificación de las órbitas coadjuntas de Poincaré y su cuantización, consulte, por ejemplo, el siguiente trabajo: de Cariñena, Gracia-Bondia, Lizzi, Marmo y Vitale. Además, las representaciones proyectivas que manejaba Wigner aparecen naturalmente en la imagen de la órbita coadjunta, ya que, por ejemplo, una órbita coadjunta integral es una variedad proyectiva suave (consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de: Schlichenmaier. Además, las representaciones en el Inönu -Las contracciones de Wigner también están (al menos parcialmente) relacionadas con la cuantización de órbitas coadjuntas, consulte los siguientes dos artículos de Benjamin Cahen.

Aunque aparecen en otros contextos de la física, las órbitas coadjuntas pueden pensarse como los espacios de fase clásicos correspondientes a los grados de libertad internos de las partículas cuánticas, como espín, sabor, color, etc. Esta imagen permite el tratamiento de los grados de libertad traslacionales cuyo los espacios de fase correspondientes son paquetes cotangentes y los grados de libertad internos en la misma base. Una aplicación importante en la que ambos grados de libertad coexisten e interactúan son las ecuaciones de Wong que generalizan la ecuación de Lorentz para una partícula con carga no abeliana como el color:

$$\frac{dx^i}{dt} = p^i$$

$$\frac{dp^i}{dt} = F^a_{ij}(x)T_a(y)p^i$$

$$\frac{dT_a}{dt} = -f^c_{ab}A^b_j(x)T_c(y)$$

Donde$A^b_j$es el potencial vectorial de Yang-Mills$F^a_{ij}$la intensidad de campo correspondiente,$x^i$y$p ^i$, las coordenadas de posición y momento$T_a(y)$son las funciones hamiltonianas en las órbitas coadjuntas que representan las cargas no abelianas y$f^c_{ab}$las constantes de estructura, y$y$son las coordenadas en las órbitas coadjuntas. Para una discusión más profunda, consulte la siguiente tesis de: Rainer Glaser.

La cuantificación de órbitas coadjuntas conduce a representaciones unitarias de los grupos correspondientes. Las representaciones generalmente se realizan como la reproducción de espacios de núcleo de Hilbert de secciones de haces de líneas. Estas representaciones se realizan como una representación estatal coherente (consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de: Boya, Perelomov y Santander), lo que las hace especialmente adecuadas para el análisis semiclásico. (ver nuevamente la tesis de Rainer Glaser).

Todas las órbitas coadjuntas de los grupos de Lie semsimples compactos y algunas de las órbitas coadjuntas de los grupos no compactos son Kähler. La cuantificación de estas órbitas se puede lograr mediante la cuantificación de Berezin Toeplitz, consulte la siguiente revisión de Schlichenmaier. Además, ser Kähler y homogéneo hace que estas órbitas coadjuntas sean accesibles para el trabajo explícito. Consulte también el siguiente artículo de: Bernatska y Holod para ver ejemplos de trabajos explícitos reales sobre órbitas coadjuntas semisimples. Es importante mencionar que para poder cuantificar una órbita coadjunta compacta, esta debe ser integral, es decir, debe cuantificarse el flujo de su forma simpléctica a través de 2 ciclos. Esta es la condición de cuantificación de Dirac.

La órbita conjunta más elemental es la de dos esferas. Su cuantización conduce a la teoría del momento angular de espín; consulte, por ejemplo, el trabajo original de Berezin. Los sistemas de espín, que constituyen modelos importantes en la teoría del magnetismo, pueden estudiarse utilizando generalizaciones de estas ideas. Consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de: Bykov.

Las representaciones asociadas con las órbitas coadjuntas integrales se pueden obtener como modos cero de un problema de Landau de una partícula que se mueve en la órbita coadjunta en un campo magnético igual a la forma simpléctica. El espacio de cuantización de Hilbert se obtiene como el espacio (degenerado) del nivel más bajo de Landau. Consulte, por ejemplo, las siguientes notas de clase .

Existe una aplicación adicional importante para el tipo de teorías de Yang-Mills y Chern-Simons llamada teorema de Stokes no abeliano en el que un bucle de Wilson se puede expresar como una integral de ruta de Feynman sobre bucles en una órbita coadjunta que se puede dar heurísticamente como:

$$tr_{\mathcal{H}}T\{exp(i\oint A^{a}(t) T_a)\}= \mathrm{lim}_{m\rightarrow \infty}\int exp\big (i\int _0^T \alpha^{\mathcal{H}}_i\dot{z}^i - \bar{\alpha}^{\mathcal{H}}_i \dot{\bar{z}}^i + \frac{m}{2}g_{i\bar{j}}\dot{z}^i \dot{\bar{z}}^j+A^{a} (t)T^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})\big) \mathcal{D}z\mathcal{D}\bar{z}$$

Donde$\alpha^{\mathcal{H}}$es el potencial simpléctico de la órbita coadjunta correspondiente a la representación$\mathcal{H}$(mediante el teorema de Borel-Weil-Bott). El símbolo$T_a$se utiliza para un elemento de álgebra de Lie en el bucle de Wilson y también para la función hamiltoniana correspondiente dentro de la integral de trayectoria.$z$son las coordenadas de la órbita coadjunta. La acción describe una partícula en un campo magnético que tiene una densidad de carga distribuida como la función hamiltoniana. El límite$m\rightarrow \infty$se considera que domina el nivel más bajo de Landau sobre la integral de trayectoria. Esta representación se ha utilizado para la inserción de bucles de Wilson en las integrales de ruta QCD (en el estudio del confinamiento) y también para la inserción de bucles de Wilson en la teoría de Cher-Simons que conduce a los polinomios de Jones.

Existen clasificaciones explícitamente conocidas de algunos casos de órbitas coadjuntas de dimensión infinita, principalmente, aquellas relevantes para la teoría de cuerdas. Una clasificación completa de los orbitales coadjuntos de la orientación conservando el grupo de difeomorfismo del círculo.$Diff^{+}(S^1)$están dados por: Jialing y Pickrell . También se conoce la clasificación de las órbitas coadjuntas de los grupos de bucles; consulte las siguientes notas de lectura de Khesin y Wendt.

Las órbitas coadjuntas aparecen en muchas más áreas y aplicaciones de la física. Las aplicaciones mencionadas anteriormente son quizás las más conocidas en mi punto de vista personal.

Los observables de bucle de Wilson dentro de la teoría del campo de calibre 3d Chern-Simons son secretamente la cuantificación de una teoría del campo 1d en términos de órbitas coadjuntas .

Esta declaración que posiblemente todavía suena sorprendente ya se insinuó en la p. 22 de los seminales

• Edward Witten, Teoría cuántica de campos y la comuna polinomial de Jones. Matemáticas. física 121 (3) (1989) 351–399. MR0990772 ( proyecto EUCLID )

  Una discusión detallada de cómo funciona esto se encuentra en la sección 4 de

• Chris Beasley, Localization for Wilson Loops in Chern-Simons Theory, en J. Andersen, H. Boden, A. Hahn y B. Himpel (eds.) Chern-Simons Gauge Theory: 20 Years After, AMS/IP Studies in Adv. Matemáticas, vol. 50, AMS, Providencia, Rhode Island, 2011. ( arXiv:0911.2687 )

siguiendo

• S. Elitzur, Greg Moore, A. Schwimmer y Nathan Seiberg, Observaciones sobre la cuantificación canónica de la teoría de Chern-Simons-Witten, Nucl. física B 326 (1989) 108–134.

La idea se indica en el nLab aquí .

Como también se discutió allí , la afirmación de que hay una teoría de campo cuántico 1d de órbita conjunta como una especie de teoría "dentro" de Chern-Simons 3d tiene una buena interpretación desde el punto de vista de la teoría cuántica de campo extendida . Esto lo hemos discutido en la sección 3.4.5 de

• Domenico Fiorenza, Hisham Sati, Urs Schreiber, Una perspectiva apilada más alta sobre la teoría de Chern-Simons , en Damien Calaque et al. (eds.) Aspectos matemáticos de las teorías cuánticas de campos, Estudios de física matemática, Springer 2014 ( arXiv: 1301.2580 )

Entonces, dada la ubicuidad de la teoría de Chern-Simons en QFT, y el hecho de que gran parte de su interés está codificado en sus observables de bucle de Wilson, esto significa que la cuantificación de las órbitas coadjuntas juega un papel igualmente importante. Por ejemplo, dado que toda la teoría del campo conforme 2d racional está codificada dualmente, a través del teorema FRS , por la teoría Chern-Simons 3d de tal manera que las inserciones del campo CFT se asignan a los bucles CS Wilson, esto significa que las órbitas coadjuntas cuantificadas están en trabajar entre bastidores en gran parte de 2d CFT.

Puedo agregar algunos trabajos recientes que usan órbitas coadjuntas para comprender mejor el espacio de soluciones de gravedad 2+1. Con una constante cosmológica obtienes órbitas coadjuntas del grupo Virasoro, y sin una constante cosmológica obtienes BMS$_3$órbitas coadjuntas. Estas son las simetrías de los espacios de soluciones de las correspondientes teorías gravitatorias. Las obras de las que estoy hablando son (para enumerar algunas):

• arXiv:1403.3835, arXiv:1403.5803, arXiv:1502.00010, arXiv:1502.03108
• arXiv:1403.3367

La primera línea trata sobre el espacio plano, la segunda línea trata sobre el caso con una constante cosmológica negativa (un trabajo mío con M. Leston). Debería haber más trabajos en física que usen órbitas conjuntas, pero estos son los que conozco y que son recientes.

Voy a correr el riesgo de que alguien más me contradiga. mi respuesta corta es

no _

Ya no hay aplicaciones de órbitas coadjuntas a la física. El tema de las órbitas coadjuntas pertenece a la física matemática, que no es física real.

El trabajo iniciado por Souriau y Kostant sobre la cuantización geométrica (también debo mencionar a Michelle Vergne y sus alumnos) trata sobre la cuantización, que es cómo producir un sistema Mecánico Cuántico a partir de un Sistema Clásico dado. Esto fue interesante en los años 30, pero ya no tiene ningún uso. Lo que interesa ahora son los sistemas cuánticos que no tienen un análogo clásico y, por lo tanto, no pueden obtenerse por cuantificación en absoluto.

Dicho esto, me comeré mis palabras si alguien me muestra una ruta plausible desde órbitas co-adjuntas a una Teoría Cuántica de Campo completamente nueva que no necesita renormalización. No he oído hablar de nada remotamente parecido, pero si hubiera algo tan imposible, podría ser interesante.