Cerradura de un subconjunto de números complejos bajo suma

Si tenemos dos ángulos

$$\phi_1,\phi_2\in[0,2\pi]$$ tal que $$\phi_1\le\phi_2$$ y realizamos sumas estándar en números complejos del subconjunto de $$S=\{ z\in \mathbb{C} : arg(z) \in[\phi_1 ,\phi_2]\}$$ ¿Obtenemos una estructura algebraica cerrada?$(S,+)$? En otras palabras, por cada$z_1,z_2 \in S$, es$z_1+z_2 \in S$?

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Intuitivamente tiene sentido para mí que esto debe ser cerrado, ya que si sumamos vectores geométricos 2D (representados por los números complejos) cuyos argumentos están acotados, utilizando las reglas geométricas para la suma de vectores (por ejemplo, la regla del paralelogramo) el vector resultante (complejo número) tiene un argumento acotado a los mismos límites que los dos vectores iniciales.

No puedo encontrar ningún contraejemplo, pero tampoco puedo encontrar la manera de mostrar la cerrazón. He expresado los argumentos de$z_1=x_1+iy_1$y$z_2=x_2+iy_2$como$\theta_1 = \arctan{(y_1/x_1)}$y$\theta_2 = \arctan{(y_2/x_2})$, pero no veo cómo expresar el argumento de su suma$arg(z_1+z_2)=\theta_{12} = \tan(\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2})$en términos de sus argumentos o cómo demostrar que$\theta_{12}\in[\phi_1 ,\phi_2]$.

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Sé que puedo usar la identidad para el tan de una suma de ángulos (que tendríamos si estuviéramos multiplicando los números complejos$z_1$y$z_2$) para expresarlo en términos de los tans de la$z_1$y$z_2$, pero no veo que ese sea el caso aquí.

EDITAR: Nota personal: cuando busque contraejemplos, observe más los extremos.