Ceros reales/complejos para la función de transferencia de filtro

Así que estuve leyendo sobre el diseño de filtros y descubrí cómo determinar la función de transferencia de un filtro, cuando se le dan sus polos y ceros. Me encontré con la siguiente pregunta que me tiene un poco confundido acerca de cómo determinar los ceros de una función de transferencia.

Suponga que tiene un filtro de paso bajo de tercer orden que tiene ceros de transmisión en ω = 2 , ∞ , polos en − 1 , − 0.9 ± 1.1 j y una ganancia de DC de la unidad. Al realizar el trabajo, obtengo la siguiente función de transferencia:

T ( s ) = k ( s 2 + 4 ) ( s + 1 ) ( s + 0.9 + 1.1 j ) ( s + 0.9 − 1.1 j )

dónde k es el factor de ganancia (calculado utilizando el hecho de que la ganancia de CC es la unidad).

Aquí está mi problema. La pregunta establece que hay múltiples ceros de transmisión, pero no indica cuántos ceros hay en ω = 2 . Supuse que el cero en ω = 2 era complejo, dando lugar a un par conjugado ( s + 2 j ) ( s − 2 j ) y por lo tanto como llegué s 2 + 4 para el numerador. Pero, ¿hay alguna forma de demostrar que dicho cero es de hecho un par conjugado y no real?

Supongamos que la pregunta estableciera en cambio que había "una transmisión cero en ω = 2 ". ¿Sería entonces el numerador de la función de transferencia igual a s − 2 , con un solo cero real, ya que el cero debe ser real si solo hay uno de ellos (es decir, ningún par conjugado)?

Me parece en este momento que me estoy perdiendo algo obvio sobre esto.

¿Cómo ese TF produce un cero en el infinito?
¿Puede el numerador ser de la forma ( s + 2 ) ( s + 2 ) = s 2 + 4 s + 4 ?
¿Puedes publicar la pregunta textualmente? Y un enlace a la pregunta si el acceso al material que está leyendo está disponible en línea.
@AJN Claro, veré si puedo obtener una captura de pantalla de ellos. La(s) pregunta(s) son similares a los problemas 17.11 y 17.12 del libro de texto "Microelectronic Circuits" de Sedra y Smith, séptima edición, solo que con valores diferentes.
@Andyaka Mi lógica era tomar el valor absoluto del TF (magnitud), luego tomar el límite como s --> ∞ . Aplicando la regla de L'Hopital, obtienes una relación 1/s ya que el denominador es de grado 3 y el numerador es de grado 2, por lo tanto, la magnitud de cero es s --> ∞
Si multiplicas el denominador, habría términos reales que no están relacionados con s, por lo tanto, no hay cero en el infinito. OK, supongo que podrían cancelar con s 2 términos. No hice los cálculos.

Respuestas (1)

¿Sería entonces el numerador de la función de transferencia igual a s−2?

No, porque S-2 implica cero en

( σ , ω ) = ( 2 , 0 )
mientras asumiste cero en
ω = 2
y puedes ver que en ambos casos las partes imaginarias son diferentes.

La pregunta establece que hay múltiples ceros de transmisión, pero no indica cuántos ceros hay en ω=2

solo hay dos posibilidades: 1 cero o 2 cero en ω = 2, pero dos cero en ω = 2 no es posible porque conduce a un coeficiente complejo de numerador y que no es realizable y, de manera similar, dos cero en el infinito tampoco es posible debido por la misma razón que la anterior.

Supuse que el cero en ω=2 era complejo, lo que generaba un par conjugado (s+2j)(s−2j)

Su suposición parece correcta, veamos por qué-

Aunque el cero se da en ω=2, una conclusión razonable sería un cero en

( σ , ω ) = ( σ , 2 )
pero también se da que un cero es infinito de lo que se puede concluir que el numerador es de polinomio de segundo grado. Pero para los filtros realizables físicamente, una de las condiciones es que todos los coeficientes del numerador y del denominador deben ser reales. Por lo tanto, si un cero está en
S − ( σ + j 2 )
entonces otros estarían en
S − ( σ − j 2 )
. si consideramos la parte real de cero como una variable, no podemos calcular su valor porque solo tenemos una condición (ganancia de CC) y dos variables, por lo que la única interpretación lógica de
ω = 2
es que su cero está en (0,2), por lo tanto, el numerador será
( S − j 2 ) ( S + j 2 ) = S 2 + 4

Gracias por esta explicación @ usuario215805. Parece que mi confusión estaba asumiendo que ω era la parte real del número complejo, en oposición al valor de la parte imaginaria.
La razón por la que pregunté cómo cambian las cosas si se da un solo cero de transmisión en realidad proviene de una versión de esa pregunta en la que se considera un filtro de paso bajo de segundo orden. En esta pregunta, hay polos en − 0.9 ± 1.1 j y una transmisión cero en ω = 2 , con ganancia de CC todavía la unidad. También pregunta cuál sería la ganancia como ω enfoques ∞ . ¿Seguiría siendo el numerador s 2 + 4 ? Mi suposición inicial fue no porque para un filtro LP, la ganancia cae a 0 como ω enfoques ∞ , lo que solo podría suceder si grado(numerador)<grado(denominador).
@ JTaft121, incluso si el numerador es
s 2 + 4
todavía no es grado (numerador) <grado (denominador) y la ganancia sería cero a medida que ω se acerca a ∞. ¿Y eso es lo que esperaba?
Esperaba que la función de transferencia para el problema del filtro de paso bajo de segundo orden fuera
T ( s ) = k s 2 + 4 ( s − 0.9 + 1.1 j ) ( s − 0.9 − 1.1 j )
ya que hay una transmisión cero en ω = 2 y postes en 0.9 ± 1.1 j . Pero ahora no estoy seguro porque la función de transferencia que he dado tiene grados (num) = grados (den), que no llega a 0 como ω enfoques ∞ .
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