¿Características de la Relatividad General aplicables solo a 3+1 dimensiones?

Mientras estudiaba la relatividad general, me di cuenta de que gran parte de la teoría podía generalizarse fácilmente a partir de un ( 3 , 1 ) -espacio-tiempo dimensional a un ( norte , 1 ) -espacio-tiempo dimensional sin ningún cambio. Entonces, ¿es este el caso para todos los resultados que podemos derivar en la relatividad general? ¿O hay resultados que dependen crucialmente de que el espaciotiempo tenga 3 dimensiones espaciales?

El teorema de unicidad de Robinson para los agujeros negros solo se cumple en 3+1, por lo que los objetos como Black Rings (agujeros negros en forma de toroide) son posibles en 4+1 dimensiones.

Respuestas (2)

Primero discutiré algunas diferencias bastante físicas, que podrían ser suficientes para sus intereses. Después, también mencionaré cómo matemáticamente las cosas pueden ser algo únicas en cuatro dimensiones.

predicciones físicas

Hay resultados que dependen del número de dimensiones espaciales. Por ejemplo, el tensor de Riemann tiene d 2 ( d 2 − 1 ) 12 componentes independientes en d = norte + 1 dimensiones espaciales. Esto implica que

  • en 3 + 1 dimensiones, tiene 20 componentes independientes. 10 en el tensor de Ricci , 10 en el tensor de Weyl ;
  • en 2 + 1 dimensiones, tiene 6 componentes independientes. Todos ellos están en el tensor de Ricci, ya que el tensor de Weyl se anula en variedades de dimensión menor que 4 ;
  • en 1 + 1 dimensiones, tiene un solo componente independiente. Corresponde al escalar de Ricci .

Las ecuaciones de Einstein dicen

R a b − 1 2 R gramo a b = 8 π T a b .
Si contratamos con la métrica por ambos lados, vemos que
gramo a b R a b − 1 2 R gramo a b gramo a b = 8 π gramo a b T a b , R − d 2 R = 8 π T , ( 1 − d 2 ) R = 8 π T , R = dieciséis π 2 − d T ,
donde definí T = gramo a b T a b y utilizó el hecho de que gramo a b gramo a b = d en d dimensiones. Note que, por d = 2 = 1 + 1 , el último paso es una división por cero, así que lo trataré por separado. En cuanto a las otras dimensiones, una consecuencia de esta expresión es que podemos reescribir las ecuaciones de Einstein como
R a b = 8 π ( T a b + T 2 − d gramo a b ) .

Consideremos lo que sucede en el vacío: T a b = 0 . En todas las dimensiones pero d = 2 , obtenemos R a b = 0 . Si d = 4 , todavía podemos tener curvatura porque solo 10 los componentes del tensor de Riemann están en el tensor de Ricci, por lo que puede haber una curvatura que no desaparece. Esto es lo que permite que la Tierra gire alrededor del Sol: aunque la Tierra está en el vacío, el espacio-tiempo sigue siendo curvo.

En d = 3 , las cosas no son así. Las ecuaciones de Einstein nos dicen que el tensor de Ricci desaparece, pero todos los componentes independientes del tensor de Riemann están en el tensor de Ricci. Por lo tanto, en d = 3 , no hay curvatura en el vacío. La gravedad ya no es de largo alcance en este sentido, solo está presente donde está presente la materia.

Consideremos ahora d = 2 . En este caso, en realidad tenemos que R a b = 1 2 R gramo a b siempre _ El tensor de Einstein siempre se anula. Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein en realidad solo implican que el tensor de tensión-energía debe desaparecer, lo cual es muy diferente de lo que obtenemos en otras dimensiones.

En resumen, la dimensionalidad del espacio-tiempo puede tener bastante impacto en las predicciones físicas de la Relatividad General. Gravitation: Foundations and Frontiers de Padmanabhan tiene un capítulo dedicado a la gravedad en otros números de dimensiones que pueden ser de su interés. Si bien solo mencioné la gravedad en dimensiones inferiores, también cubre la gravedad en dimensiones superiores.

Cuatro dimensiones son difíciles (topológicamente hablando)

La topología diferencial es bastante difícil en cuatro dimensiones. Por ejemplo, si su espacio es topológicamente igual (es decir, homeomorfo) a R norte , entonces seguramente tiene la misma estructura diferencial que R norte (es decir, son difeomorfos). A menos que norte = 4 . En este caso, hay infinitas estructuras diferenciales diferentes posibles, conocidas como exóticas. R 4 's . Este es solo un ejemplo de cómo las cosas pueden ponerse difíciles. En resumen, las técnicas que se aplican a grandes dimensiones fallan en d = 4 , y también las técnicas que se aplican a las dimensiones bajas. Como dice esta reseña de C. Manolescu , "Esto lo hace [ d = 4 ] la dimensión más difícil de estudiar".

no soy un experto en d = 4 la topología y este párrafo usaron prácticamente todo lo que sé al respecto, pero mi punto es que las predicciones físicas no solo dependen de la dimensionalidad del espacio-tiempo, sino que incluso las propiedades más generales de la geometría diferencial dependen en gran medida de la dimensionalidad de la variedad y pueden ser bastante complicado en el caso particular de d = 4 .

Eh, no sabía que la geometría diferencial fuera tan complicada en d = 4 . Y pensar que eso es en lo que residimos. Qué coincidencia.
Además, ¿hay predicciones físicas que difieran entre d = 4 y d > 4 ? Eso era en realidad lo que quería preguntar, pero olvidé que la situación era tan diferente en d = 2 , 3 .
@IshanDeo Estoy bastante seguro de que hay predicciones físicas que diferirán en más dimensiones, pero no estoy muy familiarizado con ellas. Observe que el número de componentes independientes del tensor de Ricci es d 2 + d 2 , es decir, cuadrático en d , mientras que el número de componentes del tensor de Riemann es cuartico. Por lo tanto, en grandes dimensiones, la mayoría de los componentes de la curvatura se deben al tensor de Weyl, lo que no ocurre en las ecuaciones de Einstein. Esto sugiere que las soluciones de vacío sean mucho más ricas.
De hecho, Wikipedia dice que en d = 5 uno puede obtener "anillos negros", que serían análogos a los agujeros negros, pero con horizontes que no son necesariamente homeomorfos a una esfera

Dato curioso: las familiares dimensiones 3+1 son el único número de dimensiones en las que existen órbitas planetarias estables.

¡Oh, vaya! ¿Tienes algún enlace que me puedas recomendar donde pueda encontrar más información sobre esto?
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@JohnRennie ¿Cómo quiere decir que esto no proporciona una respuesta a la pregunta? El OP solicita resultados en GR que dependen únicamente del espacio-tiempo que tiene 3+1 dimensiones. Esta respuesta da un ejemplo (muy crucial para la humanidad) de tal resultado. Su naturaleza breve no pretende de ninguna manera ser una crítica de la pregunta. Si esto se pusiera como comentario, los moderadores, con razón, se quejarían de que las respuestas no deberían incluirse en los comentarios.
¿Características de la Relatividad General aplicables solo a 3+1 dimensiones?
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