¿Puede un universo hipotético tener más de 2 tipos de dimensiones: espacial y temporal?

Nuestro modelo para el espacio-tiempo es el de una variedad , que es el término matemático para algo que parece$\mathbb{R}^n$en cualquier parche ampliado, y donde todos estos parches se unen de manera sensata. En nuestra variedad tenemos$n$coordenadas: números reales que describen cada punto y varían suavemente de un punto a otro.

También agregamos a nuestro modelo la noción de ángulos y tamaños, y esto se logra a través de una métrica $g$, lo que nos da un producto interno entre vectores. Por ejemplo, si tiene un vector de dirección$\vec{v}_1$y otro$\vec{v}_2$, el ángulo entre ellos es$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$. Si$\vec{v}$es el vector tangente a lo largo de algún camino, entonces$g(\vec{v}, \vec{v})$da algo así como la distancia infinitesimal al cuadrado a lo largo del camino (así que la raíz cuadrada y la integración te dan la distancia total).

ahora tomamos$g$tener algunas propiedades básicas.

• Debe actuar linealmente sobre sus argumentos, así por ejemplo$g(\vec{v}_1+\vec{v}_2, \vec{v}_3) = g(\vec{v}_1, \vec{v}_3) + g(\vec{v}_2, \vec{v}_3)$. Sin esta propiedad, el ángulo entre dos direcciones físicas dependería de cómo decidas escribir la fórmula. Por lo tanto, puede representar$g$como un$n \times n$matriz, donde el valor escalar$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2)$viene dado por la multiplicación matricial del vector fila$\vec{v}_1$, la matriz$g$, y el vector columna$\vec{v}_2$.
• Además, requerimos$g$ser simétrico:$g(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = g(\vec{v}_2, \vec{v}_1)$, siempre. Sin esta propiedad, el ángulo entre dos direcciones dependería de la dirección que escribas primero.
• Y por si no te quedó claro,$g$solo debe devolver números reales. (¿Qué significaría un ángulo complejo?) Dado que sus entradas solo consisten en números reales (dado que las coordenadas mismas son reales), esto significa$g$como matriz solo puede tener entradas reales.

Ahora que tenemos una matriz simétrica real, podemos aplicarle todo tipo de resultados de álgebra lineal estándar. En particular, los valores propios de dicha matriz deben ser reales. Además, podemos diagonalizar$g$en cualquier punto tal que sus valores propios se conviertan en$0$o$\pm1$. Físicamente, esto significa que podemos cambiar las coordenadas en un punto de modo que los vectores de dirección de la unidad en ese punto tengan una longitud al cuadrado$0$o$\pm1$.

el degenerado $0$El caso es problemático y, a menudo, es una señal de que su descripción matemática está fallando. En cualquier caso, la dirección de coordenadas correspondiente al valor propio$0$sería nulo : una dirección en el espacio-tiempo tomada por algo que viaja a la velocidad de la luz.

Esto deja el$\pm1$casos. Si la dirección de las coordenadas de la unidad tiene una longitud al cuadrado$+1$, llamamos a la dirección espacial . Si esto es$-1$, llamamos a la dirección temporal . Nulo es el caso límite entre los dos, pero nuevamente, usar coordenadas nulas es problemático.

Como resultado de nuestros requisitos razonables físicamente motivados en$g$, no hay lugar para otro tipo de dimensiones. Si$g$diagonaliza a tener$s$ $+1$'arena$t$ $-1$'s, corresponde a$s$dimensiones espaciales y$t$los temporales. En particular, al cambiar las coordenadas podemos cambiar la escala de cualquier número real distinto de cero a$\pm1$y los números complejos están completamente prohibidos.

Sobre los números reales, cualquier forma cuadrática no degenerada está determinada (hasta un cambio de base) por su firma, que consiste enteramente en$1$arena$-1$s.