Conservación del momento cristalino

No hay necesidad de expandir el exponencial en absoluto. Deja que la red tenga base.$\mathbf{a}_i$. El hecho de que

$$[e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, H] = 0, \quad [e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, e^{i \mathbf{a}_j \cdot \mathbf{P}}] = 0$$ indica que podemos diagonalizar simultáneamente el$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$y$H$. Desde$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$es unitario, sus valores propios son fases puras, por lo que podemos definir $$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}} |\psi \rangle = e^{i \phi_i} |\psi \rangle.$$ Ahora, porque el$\mathbf{a}_i$formar una base de$\mathbb{R}^3$, existen vectores$\mathbf{k}$de modo que $$e^{i \phi_i} = e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{k}}.$$ Entonces podemos llamar$\mathbf{k}$el "momento cristalino". La razón que$\mathbf{k}$solo se define hasta múltiplos de vectores reticulares recíprocos porque no hemos especificado$\mathbf{k}$en cualquier parte de este argumento, sólo su exponencial. De hecho, si añadimos un vector reticular recíproco$\mathbf{b}_j$, entonces las fases cambian por$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j} = e^{2 \pi i \delta_{ij}} = 1$por la definición de la red recíproca.

Para una simetría traslacional completa, puede tomar$\mathbf{a}$infinitesimal y Taylor expande la exponencial, dando$[\mathbf{a} \cdot \mathbf{P}, H] = 0$, y luego desde$\mathbf{a}$es arbitrario tenemos$[\mathbf{P}, H] = 0$. Pero para las traslaciones reticulares, expandir el exponencial no es realmente limpio, y tampoco es necesario.

Creo que la respuesta a su pregunta es que es más apropiado decir que Crystal Momentum se define como traslaciones de celosía recíprocas de módulo.

Digamos que el cristal tiene vectores de red de Bravais$\{ e_i \}$,$i=1,...,d$. Podemos construir los vectores reticulares recíprocos$\{f_j\}$satisfactorio$e_i . f_j = 2 \pi\delta_{ij}$. Una traslación reticular general viene dada por$a = \Sigma n_i$ $e_i$,$n_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

Estas traducciones son generadas por el "momento cristalino",$P = \Sigma P_j \hat{f_j}$.
Aquí$P_j$es la componente del momento del cristal a lo largo de la$j$ª dirección en la red recíproca. El operador de traducción es$T(a)$=$T(\{n_i\})$=$e^{iP.a}$=$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i P_i}{|f_i|})$=$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i (P_i + m_i |f_i|) }{|f_i|})$, para cualquier$m_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

La última igualdad muestra que se genera la misma traslación reticular si reemplazamos$\{ P_i \}$, las componentes del momento cristalino en el espacio recíproco, por$\{ P_i + m_i |f_i| \}$(O,$P$es reemplazado por$P$ $+$ $\Sigma$ $m_i f_i$).

Esto significa que el "momento del cristal" (es decir, el generador de traslaciones de la red) solo se define como un vector de red recíproco de módulo. Dicho de otra manera, los únicos valores propios del momento del cristal que deben considerarse son los que pertenecen a la primera zona de Brillouin.

El resto de lo que dices es correcto. del hecho de que$[T(\{ n_i \}), H]$=$0$ $\forall$posibles traducciones de celosía$\{ n_i \}$, obtenemos que se conserva el momento del cristal.

Ver también : Afirmación injustificada en Kittel sobre las funciones de Bloch (hacia el final) para una versión unidimensional del argumento presentado anteriormente y una derivación del teorema de Bloch.