Cantidad conservada de un lagrangiano libre relativista para un impulso de Lorentz

Esto es más fácil de ver a partir de la formulación hamiltoniana, cf. esta publicación Phys.SE. A continuación también daremos las expresiones no relativistas para comparar, porque es interesante y algo sutil, cf. esta publicación de Phys.SE, y porque OP hizo la pregunta análoga no relativista anteriormente.

I) El hamiltoniano es la energía cinética, es decir, la energía menos la energía en reposo$^1$

$$\begin{align} H~=~&p^0c-mc^2~=~\sqrt{{\bf p}^2c^2+m^2c^4}-mc^2\cr \longrightarrow&\quad \frac{{\bf p}^2}{2m}\quad\text{for}\quad c\to \infty.\end{align} \tag{1}$$

Los 3 generadores de impulso$B^i$forman parte de los 6 generadores Lorentz

$$\begin{align}B^i~=~&\frac{J^{0i}}{c} ~=~tp^i-x^i\frac{p^0}{c}\cr \longrightarrow &\quad tp^i-mx^i\quad\text{for}\quad c\to \infty,\cr & i~\in~\{1,2,3\}.\end{align}\tag{2}$$ Las transformaciones de cuasisimetría infinitesimales pertinentes son generadas por los refuerzos $$\begin{align}\delta x^i ~=~&\{ x^i , {\bf B}\cdot \delta {\bf v} \} ~=~t~\delta v^i - \frac{p^i}{p^0c}{\bf x}\cdot \delta {\bf v}\cr \longrightarrow &\quad t~\delta v^i\quad\text{for}\quad c\to \infty, \tag{3}\cr \delta p^i ~=~&\{ x^i , {\bf B}\cdot \delta {\bf v} \} ~=~\frac{p^0}{c}\delta v^i\cr \longrightarrow &\quad 0\quad\text{for}\quad c\to \infty,\tag{4}\cr \delta t~=~&0.\tag{5}\end{align}$$ El hamiltoniano lagrangiano $$\begin{align} L_H ~=~&{\bf p}\cdot \dot{\bf x} - H \cr \longrightarrow &\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \frac{{\bf p}^2}{2m} \quad\text{for}\quad c\to \infty \end{align}\tag{6}$$ tiene una cuasi-simetría $$\begin{align}\delta L_H~=~&\frac{d}{dt}\left( \frac{m^2c}{p^0} {\bf x}\cdot \delta {\bf v} \right)\cr \longrightarrow &\quad \frac{d}{dt}\left( m {\bf x}\cdot \delta {\bf v} \right) \quad\text{for}\quad c\to \infty. \end{align}\tag{7}$$ Se puede comprobar que las cargas de Noether correspondientes son precisamente los generadores de impulso (2).

II) La formulación lagrangiana correspondiente$^1$

$$\begin{align}L~=~&mc^2\left(1-\sqrt{1-\frac{\dot{\bf x}^2}{c^2}}\right)\cr \longrightarrow &\quad \frac{1}{2}m\dot{\bf x}^2\quad\text{for}\quad c\to \infty,\end{align}\tag{8}$$ tiene cuasi-simetría de impulso infinitesimal $$\begin{align}\delta x^i ~=~&t~\delta v^i - \frac{\dot{x}^i}{c^2}{\bf x}\cdot \delta {\bf v}\cr \longrightarrow &\quad t~\delta v^i\quad\text{for}\quad c\to \infty, \tag{9}\cr \delta t~=~&0,\tag{10}\end{align}$$ y cargas de impulso conservadas $$\begin{align}B^i~=~&m\frac{t\dot{x}^i-x^i}{\sqrt{1-\frac{\dot{\bf x}^2}{c^2}}} \cr \longrightarrow &\quad m(t\dot{x}^i-x^i)\quad\text{for}\quad c\to \infty.\tag{11}\end{align}$$ Esto se deja como ejercicio para el lector. Una forma es integrar el 3-momentum${\bf p}$de la formulación hamiltoniana en la sección I. Consulte también estas publicaciones relacionadas con Phys.SE y los enlaces allí.

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$^1$Hemos eliminado la energía en reposo, que es una constante, es decir, una derivada del tiempo total, para poder ir al límite no relativista.