¿Es la función de partición de las teorías no conformes sobre un toro modular invariante?

No, una teoría genérica sobre un toro no es invariante modular.

Una teoría de campo conforme no puede depender de la métrica del espacio en el que se define, sino solo de su clase de equivalencia conforme. Es un hecho que el espacio de tales clases para el toro está dado por un parámetro complejo$\tau$, el módulo (conforme), definiendo el retículo del que sacamos el cociente$\mathbb{R}^2$para obtener el 2-torus: Los vectores reticulares básicos son$(1,0)$y el vector en el plano correspondiente al número complejo$\tau$, es decir$\tau$es la "relación" entre los dos círculos fundamentales en el toro. Si no tuviéramos invariancia conforme de la teoría, no se nos permitiría identificar la red dada por$(1,0)$y$\tau$con la red dada por$(2,0)$y$2\tau$porque mientras se relacionan mediante un cambio de escala, el área de estos paralelogramos y, por lo tanto, el toro resultante es diferente, por lo que no tendríamos solo este parámetro$\tau$describiendo la estructura del toro relevante.

El grupo modular$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$envía$\tau$a valores que son equivalentes en el sentido de que definen la misma red después de reescalar uno de los vectores base a$(1,0)$como lo permite la invariancia conforme, y así la partición funciona, como una función de$\tau$, debe ser invariante modular ya que$\tau$relacionados por transformación modular definen toros con la misma clase de equivalencia conforme.

Dejar$T = \mathbb{C}/\left( {\mathbb{Z} \oplus \tau \mathbb{Z}} \right)$. Este toro es conformemente equivalente a cualquier toro$T' = \mathbb{C}/\left( {\mathbb{Z} \oplus \tau '\mathbb{Z}} \right)$con$\tau ' = \frac{{a\tau + b}}{{c\tau + \operatorname{d} }}$tal que a,b,c,d integral y$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b \\ c&\operatorname{d} \end{array}} \right| = 1$.

Esta es una transformación modular.

Si toma una función de partición en una CFT 2D como vería en la teoría de cuerdas, está integrando sobre el espacio de módulos de superficies de Riemann conformemente no equivalentes. Por lo tanto, es importante que su función de partición tenga invariancia modular para que no distinga entre toros que son conformemente equivalentes.

Si está trabajando con un QFT que no es conforme, entonces este argumento no es realmente relevante.