Campos de fuerza vectoriales y sus interpretaciones físicas

El campo de fuerza vectorial F=(yi,-xj) tiene un rotacional de -2. La aceleración de una partícula en el espacio está dada por: ax=y/m ay=-x/m Este campo vectorial tiene una divergencia de 0. ¿Las partículas en este campo vectorial de FUERZA se moverán en círculos o se moverán en espiral hacia afuera de una manera loca? ? Mi enigma es este, la aceleración de las partículas nunca es hacia el centro, por lo tanto, no hay aceleración centrípeta, entonces, ¿cómo pueden estas partículas moverse en círculos discretos?

¿Tiene sentido este razonamiento o estoy haciendo una sustitución anidada?

r=Sqrt[x^2+y^2]
r=Sqrt[((1/2)ax*t^2)^2 + ((1/2)ay*t^2)^2]
r=(1/2)Sqrt[t^4 (ax^2 + ay^2)]
r=(1/2)Sqrt[t^4 a^2]
r=(1/2)at^2
¿Has probado a resolver las ecuaciones diferenciales? X ″ = y / metro , y ″ = − X / metro , o comprobando si un camino circular puede satisfacerlos?
En realidad, solo estoy en cálculo multivariable y no sé cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque eso se me pasó por la cabeza. De hecho, llegué a crear una simulación en Adobe Flash que me da el patrón en espiral.
Creo que sabes lo suficiente como para comprobar lo que ha dicho Eric. Es posible que no puedas resolverlo. Pero seguro que puedes comprobarlo.
Solo para aclarar su intuición, las partículas se moverían en círculos si sus velocidades estuvieran dadas por su campo de fuerza, en lugar de sus aceleraciones .

Respuestas (2)

A partir de algunos hechos básicos de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, se deduce que las partículas se moverán en espiral como mostró su simulación. De hecho, las soluciones de la ecuación diferencial tienen términos que involucran cosas como mi t / 2 pecado ⁡ ( t / 2 ) .

El sistema de ecuaciones diferenciales que tiene puede convertirse en un sistema de primer orden introduciendo nuevas variables w y z con X ′ = w y y ′ = z . Entonces w ′ = y y z ′ = − X (aquí estoy tomando metro = 1 ). Entonces podemos escribir el sistema en forma matricial como

( w X y z ) ′ = ( 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 − 1 0 0 ) ( w X y z ) .

El tipo de soluciones se determina entonces por los valores propios de los 4 × 4 matriz. Si un valor propio si a + i b , entonces una solución estará dada por v mi a + i b = v mi a + v ( porque ⁡ b + i pecado ⁡ b ) dónde v es el vector propio correspondiente. En su sistema, los valores propios son 1 2 ( ± 1 ± i ) , por lo que obtenemos soluciones en espiral.

Es genial que hayas hecho una simulación flash y desearía poder darte una respuesta sin invocar la teoría ODE, pero realmente no puedo pensar en una.

Agregué un trabajo que hice en mi cuaderno a mi publicación principal, ¡pero esto parece emocionante! Completamente por encima de mi cabeza, ¡pero al menos sé que mi simulación es correcta!

Err, justo después de que dije que no podía pensar en una forma más elemental de hacerlo. Supongamos que una solución es un círculo, entonces tendríamos X 2 + y 2 = C o norte s t . La diferenciación de ambos lados da 2 X X ′ + 2 y y ′ = 0 . Dividiendo por 2 y derivando de nuevo da X ′ 2 + X y + y ′ 2 − X y = 0 . Entonces X ′ 2 + y ′ 2 = 0 . Esto significa X ′ = y ′ = 0 . Entonces las soluciones son constantes, pero solo ( X , y ) = ( 0 , 0 ) es una solución constante de la ecuación diferencial.

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