Derivación general de la energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico externo

Dado que las dos cargas en el dipolo son opuestas, el potencial total es justo (la magnitud de los tiempos de carga) la diferencia en el potencial en dos puntos cercanos. Pero esta diferencia de potencial se puede aproximar bien por el gradiente del potencial punteado en el desplazamiento entre los puntos. Por lo tanto obtenemos$\newcommand{\Vd}{U_\mathrm{dip}}\Vd\approx \newcommand{\p}{\mathbf{p}}\p \cdot \nabla V$.

Con un poco más de rigor, pongamos el origen de nuestro sistema de coordenadas en la carga negativa y llamemos a la posición de la carga positiva$\newcommand{\d}{\mathbf{d}}\d$. Llamemos a la magnitud de la carga$q$. Entonces tenemos que el momento dipolar es$\p=q\d$. Mientras tanto, el potencial del dipolo está dado por

$$\Vd=qV(\d)-qV(\mathbf{0})=q\left(V(\d)- V(\mathbf{0})\right).$$ Ahora para pequeños $\d$, podemos usar la expansión de Taylor, $$V(\d)- V(\mathbf{0})=\d \cdot \nabla V|_\mathbf{0}+O(|\d|^2).$$

Por tanto, una buena aproximación en el límite de los pequeños$\d$es

$$\Vd \approx q\d \cdot \nabla V|_\mathbf{0} = \p \cdot \nabla V|_\mathbf{0}.$$

En el límite de un dipolo ideal, donde$|\d| \to 0$con$\p$fijo (para que$q \to \infty$), el$O(|\d|^2)$término de error va a cero, por lo que la expresión anterior para el potencial es exacta.

Otra forma de ver el problema es notar que el potencial de cualquier configuración de carga (caracterizado por la densidad de carga$\rho$) en un potencial externo$V$es dado por$U=\int \rho V dV$. Por Taylor expandiendo$V$sobre el origen, obtenemos

$$U= \int \rho \left(V(\mathbf{0}) + r_i \partial_i V\newcommand{\z}{\mathbf{0}}|_\z + r_i r_j \partial_i \partial_j V|_\z + \left[\textrm{higher derivative terms}\right] \right) dV$$

esto dado que las derivadas son constantes con respecto a la variable de integración, se pueden sacar de la integración para obtener

$$U= V(\mathbf{0}) \int \rho dV + \partial_i V|_\z \int \rho r_i dV + \partial_i \partial_j V|_\z \int \rho r_i r_j dV + \cdots$$

Ahora podemos definir la carga total de la distribución de carga como$q$, definimos el momento dipolar$\p$por$\p=\int \rho \mathbf{r}dV$, y momentos multipolares superiores$Q^{(m)}_{ij\cdots}$de orden$m$por integración$\rho$contra$m$Copias de$\mathbf{r}$(multiplicado por factores adimensionales). Entonces obtenemos la energía potencial$U$es dado por

$$U=q V(\z) + \p \cdot \nabla V |_\z + \frac{1}{6}Q_{ij} \partial_i \partial_j V|_\z + \left[ \textrm{higher multipole terms $Q^{(m)}_{ij\cdots} \partial_i \partial_j \cdots V|_\z$}\right]$$

Ahora un dipolo puro (otra forma de decir ideal) tiene momento dipolar$\p$y todos los demás momentos multipolares cero, por lo que su energía potencial es simplemente$\p \cdot \nabla V$. Pero incluso para una distribución de carga arbitraria$\rho$, todavía podemos decir que la contribución del dipolo a la energía potencial es$\p \cdot \nabla V$.