Campo eléctrico dentro de una esfera dieléctrica uniformemente cargada

Cada curso básico y libro sobre electrostática tiene este problema, para encontrar el campo eléctrico dentro de una esfera uniformemente cargada. El resultado siempre es ρ r 3 ϵ 0 , obtenido usando Gauss. La pregunta es, si solo un cuerpo no conductor puede contener un exceso de densidad de carga en su interior, la esfera es dieléctrica, por lo que debe haber un efecto de polarización en su interior. ¿No debería ser la solución ρ r 3 ϵ , con ϵ siendo la permitividad del dieléctrico? Supongo que los libros lo ignoran y fingen que es una distribución de cargas "mágica" sin cuerpo, ¿o el efecto de polarización se cancela de alguna manera en tal esfera? ¡Gracias!

Lo siento, tenía un concepto confuso de "carga gratuita", quise decir "carga en exceso" ya que es un dieléctrico

Respuestas (1)

No estoy de acuerdo con ZeroTheHero, y creo que la respuesta a su pregunta depende de cómo interprete la densidad. ρ . La cosa es que los libros siempre afirman que ρ es la densidad de carga total (libre + polarización); el factor o ϵ vendría si estuvieras considerando ρ ser sólo la densidad de carga libre. El razonamiento sería usar la ley de Gauss para un dieléctrico:

∇ ⋅ D = ρ F r mi mi
Por la simetría de la esfera, obtendrías
D ( r ) = ρ F r mi mi r 3
y usando la relación constitutiva D = ϵ mi , obtendrías
mi ( r ) = ρ F r mi mi r 3 ϵ
Entonces, la interpretación correcta es que la relación entre la densidad de carga total ρ y la densidad de carga libre viene dada por la permisividad relativa ρ F r mi mi = ϵ r ρ , y desde ϵ r suele ser mayor que 1 , la densidad de carga total es menor que la densidad de carga libre, precisamente debido a las cargas de polarización.

Acabo de corregir mi pregunta diciendo que es una esfera dieléctrica con un exceso de carga distribuido uniformemente. Dado que es un dieléctrico, no habría cargas gratuitas, ¿verdad? Entonces rho sería el cargo en exceso, atado. No entiendo cómo puede haber una "densidad de carga de polarización", ya que la polarización es simétrica, es decir, un dipolo es una carga positiva y negativa que se cancelan entre sí. Pienso en las moléculas dieléctricas cargadas como un dipolo más un exceso de carga. El cargo neto es sólo el cargo en exceso.
Las ecuaciones de @dronkit Maxwell para un dieléctrico imponen que la carga total en un dieléctrico debe ser proporcional a la carga libre. Solo toma la ecuacion ∇ ⋅ D = ρ F r mi mi , así como ∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 , y la relación constitutiva D = ϵ mi . En cuanto a la "densidad de carga de polarización", lea "densidad de carga unida", simplemente la llamé de manera diferente mientras escribía la respuesta.
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