¿Cómo derivar la aproximación de segundo orden de la capacitancia de cilindros paralelos?

Question

¿Cómo derivar la aproximación de segundo orden de la capacitancia de cilindros paralelos?

John

Dados dos cilindros infinitamente largos y perfectamente conductores de radio $r$ con centros separados por $d$ , cuál es la capacitancia entre ellos, sin suponer $d \gg r$ ?

Estoy familiarizado con la derivación de la capacitancia de cilindros paralelos asumiendo $d \gg r$ , lo que resulta en:

\frac{ϵ_{r} ϵ_{0} π}{en (\frac{d}{r})}

$\frac{\epsilon_{r}\epsilon_{0}\pi}{\ln(\frac{d}{r})}$

Hace poco tuve motivos para aplicar esta fórmula y necesitaba la versión sin la suposición, porque la suposición no es válida para la mayoría de los cables reales (que empaquetan los cables muy apretados). Encontré esta fórmula de varias fuentes pero no puedo encontrar una derivación:

\frac{ϵ_{r} ϵ_{0} π}{{aporrear}^{- 1} (\frac{d}{2 r})}

$\frac{\epsilon_{r}\epsilon_{0}\pi}{\cosh^{-1}(\frac{d}{2r})}$

Me gustaría entender cómo llegar a este resultado. Puedo entender intuitivamente por qué la fórmula cambia en ausencia de la suposición: si los cilindros están muy juntos, la carga no se distribuirá uniformemente en la superficie, prefiriendo agruparse en el lado más cercano al otro cilindro. Lo que significa que el campo de desplazamiento eléctrico ya no se puede derivar trivialmente de la ley de Gauss.

Sé que la carga aún debe estar concentrada en la superficie de los cilindros, y sé que si tuviera la distribución de carga de equilibrio, podría integrar a lo largo de la capa hueca de un cilindro (una vez por sección transversal circular, una vez a lo largo) para encuentra el $E$ campo en cada punto a lo largo de una línea entre los cilindros, luego integre el $E$ campo a lo largo de esa línea para encontrar la diferencia de potencial y obtener la capacitancia a partir de ahí.

Lo que me falta es cómo obtener la distribución de carga de equilibrio. Creo que podría ser un problema de minimización de energía en el $E$ campo, pero no estoy seguro de cómo configurar eso o cómo resolverlo.

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Michael Seifert · Answer 1

Este resultado se deriva de un problema estándar en el método de cargas de imagen. Dado que es un ejercicio bastante común, solo describiré la prueba en lugar de darla en detalle. (Esta puede ser la razón por la que ha tenido problemas para encontrar una derivación completa usted mismo). Trabajaré en el vacío, pero la extensión a un dieléctrico lineal es lo que esperaría que fuera.

Considere dos cargas lineales uniformes $\pm \lambda$ corriendo a lo largo de la $z$ -eje en $x = \pm a$ y $y = 0$ . Podemos, a partir de la superposición y los argumentos estándar de la Ley de Gauss, mostrar que el potencial en un punto $(x,y)$ es dado por

V = \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{-}}{r_{+}}

$V = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \frac{r_-}{r_+}$ dónde

r_{-}

$r_-$ es la distancia a la carga negativa,

r_{+}

$r_+$ es la distancia al positivo, y hemos establecido

V = 0

$V = 0$ a lo largo de

y z

$yz$ -plano (donde

r_{-} = r_{+}

$r_- = r_+$ .) A través de una gran cantidad de geometría y álgebra, se puede demostrar que la superficie equipotencial para cualquier

V

$V$ en esta geometría es un cilindro, centrado en

x_{0} = a \coth (2 π ϵ_{0} V / λ)

$x_0 = a \coth (2 \pi \epsilon_0 V/\lambda)$ , con un radio de

r = a c s c h (2 π ϵ_{0} V / λ)

$r = a \,\mathrm{csch} (2 \pi \epsilon_0 V/\lambda)$ . Nótese que esto implica que

x_{0} / r = \cosh (2 π ϵ_{0} V / λ)

$x_0/r = \cosh (2 \pi \epsilon_0 V/\lambda)$ para todas las superficies equipotenciales.

Ahora considere un par de cilindros largos, cuyos centros están separados por una distancia $d$ y con radio $r$ , mantenida a un potencial de $\pm V_0/2$ (es decir, su diferencia de potencial es $V_0$ .) Por las propiedades de unicidad de la ecuación de Laplace, el potencial fuera de los cilindros será el mismo que en el problema anterior, siempre que elijamos nuestros valores de $\lambda$ y $a$ correctamente. Específicamente, querremos tener nuestras superficies equipotenciales en $x_0 = d/2$ anterior, lo que implica que $d/2r = \cosh(\pi \epsilon_0 V_0 / \lambda)$ . Resolviendo los rendimientos anteriores

\frac{λ}{V_{0}} = \frac{π ϵ_{0}}{{aporrear}^{- 1} (d / 2 r)} .

$\frac{\lambda}{V_0} = \frac{\pi \epsilon_0}{\cosh^{-1}(d/2r)}.$ Además, la densidad de carga de la línea en la configuración original debe ser la misma que la carga por unidad de longitud en los cilindros (como se puede ver al considerar una superficie gaussiana justo fuera del cilindro). Por lo tanto,

λ / V_{0}

$\lambda/V_0$ es la capacitancia por unidad de longitud de los cilindros, y hemos terminado.

Tenga en cuenta que no es necesario calcular la densidad de carga superficial de los cilindros en esta derivación. Si lo necesita, puede encontrarlo calculando $\epsilon_0 \hat{n} \cdot \vec{\nabla} V$ en puntos a lo largo de la superficie de los cilindros.

¡Gracias! Puedo probar esa prueba de superficie equipotencial ahora que sé el nombre de la técnica. Y esto también proporciona un buen modelo visual abstracto: donde el caso ideal tiene una carga de imagen de una línea en el centro del cilindro, este caso tiene una carga de imagen de una línea ligeramente desplazada dentro del cilindro hacia y=0, y al sustituir en la fórmula potencial original, básicamente estamos preguntando hasta qué punto se compensa la carga de la línea virtual.

¿Cómo derivar la aproximación de segundo orden de la capacitancia de cilindros paralelos?

John

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Michael Seifert

John

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