Cambiando la variable de integración y tomando la derivada aparentemente dando un problema

Estoy haciendo integral de bucle en la teoría cuántica de campos, y un problema en el cambio de variable de integración me está dando un problema. Permítanme ilustrar con un ejemplo.

Tengo una integral que se ve aproximadamente como

$$I = \int^1_0 ~\mathrm dx \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm d^dk}{(2\pi)^d}\frac{(k+p)\cdot\gamma}{((k+px)^2+m^2x^2)^2}$$

dónde$d = 4-2\epsilon$, que se usa a menudo en "regularización dimensional" en física y$\gamma$es la matriz gamma de Dirac también utilizada en física.

Me acerco a esta integral en dos métodos diferentes:

1) Primero, cambio$k = k'-px$y asumir$\mathrm d^4k = \mathrm d^4k'$ya que la integración es de$-\infty$a$\infty$, Yo obtengo,

$$I = \int^1_0 ~\mathrm dx \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm d^dk}{(2\pi)^d}\frac{(k+p(1-x))\cdot\gamma}{(k^2+m^2x^2)^2}.$$ (De paso, $p^2 = (p\cdot\gamma) (p\cdot\gamma)$).

Ahora digamos que integro para obtener$I = \displaystyle \int^1_0~\mathrm dx f(x,p\cdot\gamma)$, luego derivar con respecto a$p\cdot\gamma$:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm d p\cdot\gamma} I = \int_0^1 ~\mathrm dx\frac{\partial}{\partial p\cdot\gamma}~(f(x,p\cdot\gamma))\, .$$

2) Esta vez, tomo la derivada wrt,$p\cdot\gamma$primero en conseguir:

$$\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm d p\cdot\gamma} I &=\int^1_0 ~\mathrm dx \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm d^dk}{(2\pi)^d}\frac{\partial}{\partial p\cdot\gamma}\frac{(k+p)\cdot\gamma}{((k+px)^2+m^2x^2)^2}\\ &=\int^1_0 ~\mathrm dx \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm d^dk}{(2\pi)^d}\left(\frac{1}{((k+px)^2+m^2x^2)^2}+\frac{((k+p)\cdot\gamma)(2x(k+px)\cdot\gamma)}{((k+px)^2+m^2x^2)^3}\right)\end{align}$$

Ahora, cambio$k=k'-px$de nuevo, y obtengo una respuesta diferente.

¿Por qué son diferentes entre sí, y si quiero obtener$\frac{\mathrm d}{\mathrm d p\cdot\gamma} I$, cual debo usar? Asumiría que el segundo método es correcto, si hay una diferencia en la respuesta, pero todos los libros de texto tienen respuestas que coinciden con mi primer método; lo que parece extraño.