Cambiando la base del vector en AdS33_3

Question

Cambiando la base del vector en AdS33_3

Física
simetría
campos vectoriales
relatividad general
anti-de-sitter-espacio-tiempo

dingo_d

tengo anuncios ${}_3$ dado como una superficie incrustada en un espacio pseudo-Riemanniano de 4 dimensiones

X^{2} + y^{2} - {tu}^{2} - y^{2} = - {yo}^{2}

$x^2+y^2-u^2-y^2=-l^2$

Con métrica:

d s^{2} = d X^{2} + d y^{2} - d {tu}^{2} - d v^{2}

$ds^2=dx^2+dy^2-du^2-dv^2$

Tengo Killing vectores de ese espacio dado en las coordenadas de incrustación

j_{a b} = X_{a} \frac{\partial}{\partial X^{b}} - X_{b} \frac{\partial}{\partial X^{a}}

$J_{ab}=x_a\frac{\partial}{\partial x^b}-x_b\frac{\partial}{\partial x^a}$

tal que para 01 componente tengo:

j_{01} = X \partial_{y} - y \partial_{X}

$J_{01}=x\partial_y-y\partial_x$

Y similar para otros componentes (ya que el grupo de AdS ${}_3$ es $SO(2,2)$ hay seis de esos vectores).

Ahora, tengo las llamadas coordenadas 'Euler like':

X = ℓ (porque (\frac{τ}{2}) aporrear (\frac{σ}{2}) pecado (\frac{ω}{2}) - pecado (\frac{τ}{2}) pecado (\frac{σ}{2}) aporrear (\frac{ω}{2}))

$x=\ell\left(\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)\cosh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\sinh\left(\frac{\omega}{2}\right)-\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)\sinh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\cosh\left(\frac{\omega}{2}\right)\right)$

y = ℓ (porque (\frac{τ}{2}) pecado (\frac{σ}{2}) aporrear (\frac{ω}{2}) + pecado (\frac{τ}{2}) aporrear (\frac{σ}{2}) pecado (\frac{ω}{2}))

$y=\ell\left(\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)\sinh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\cosh\left(\frac{\omega}{2}\right)+\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)\cosh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\sinh\left(\frac{\omega}{2}\right)\right)$

tu = ℓ (porque (\frac{τ}{2}) aporrear (\frac{σ}{2}) aporrear (\frac{ω}{2}) + pecado (\frac{τ}{2}) pecado (\frac{σ}{2}) pecado (\frac{ω}{2}))

$u=\ell\left(\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)\cosh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\cosh\left(\frac{\omega}{2}\right)+\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)\sinh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\sinh\left(\frac{\omega}{2}\right)\right)$

v = ℓ (pecado (\frac{τ}{2}) aporrear (\frac{σ}{2}) aporrear (\frac{ω}{2}) - porque (\frac{τ}{2}) pecado (\frac{σ}{2}) pecado (\frac{ω}{2}))

$v=\ell\left(\sin\left(\frac{\tau}{2}\right)\cosh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\cosh\left(\frac{\omega}{2}\right)-\cos\left(\frac{\tau}{2}\right)\sinh\left(\frac{\sigma}{2}\right)\sinh\left(\frac{\omega}{2}\right)\right)$

Donde mi métrica es:

d s^{2} = \frac{ℓ^{2}}{4} (- d τ^{2} + d ω^{2} + d σ^{2} + 2 pecado ω d τ d σ)

$ds^2=\frac{\ell^2}{4}(-d\tau^2+d\omega^2+d\sigma^2+2\sinh \omega d\tau d\sigma)$

Esta parte la obtuve fácilmente, solo diferencie y agrupe todo y obtendrá esto (con la ayuda de Mathematica).

Lo que me molesta es, ¿cómo obtengo vectores Killing en esta base? :\

El problema está en los vectores unitarios. $\partial_x,\partial_y,\partial_u,\partial_v$ . Tengo problemas para obtener vectores con vectores unitarios. $\partial_\tau,\partial_\sigma,\partial_\omega$ . Intenté con la diferenciación, pero eso no es todo, así que debo estar estropeando algo. Pienso en uni cuando transformamos de cartesiano a esférico, usamos jacobiano, pero no recuerdo cómo lo hicimos. ¿Alguien puede señalarme en la dirección correcta?

Respuestas (2)

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joshfísica · Answer 1

joshfísica

Dejar coordenadas locales $x^\mu$ y $x'^\mu$ se dará con los vectores de base de coordenadas correspondientes $\partial_\mu$ y $\partial'_\mu$ respectivamente, entonces

\begin{aligned} \partial_{m}^{'} = \frac{\partial X^{α}}{\partial X^{' m}} \partial_{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \partial_\mu' = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\mu}\partial_\alpha. \end{align}$

dingo_d

Hice esto en papel, por lo que obtengo:

\partial_{x} = \frac{\partial τ}{\partial x} \partial_{τ} + \frac{\partial σ}{\partial x} \partial_{σ} + \frac{\partial ω}{\partial x} \partial_{ω}

$\partial_x=\frac{\partial \tau}{\partial x}\partial_\tau+\frac{\partial \sigma}{\partial x}\partial_\sigma+\frac{\partial \omega}{\partial x}\partial_\omega$ , pero me quedé un poco atascado allí: S ¿Debería expresar

τ, σ, ω

$\tau,\sigma,\omega$ en términos de

x, y, u, v

$x,y,u,v$ ¿entonces? ¿Es eso posible? :\

dingo_d

yo puedo hacer

\partial_{τ} = \frac{\partial x}{\partial τ} \partial_{x} + \frac{\partial y}{\partial τ} \partial_{y} + \frac{\partial u}{\partial τ} \partial_{u} + \frac{\partial v}{\partial τ} \partial_{v}

$\partial_\tau=\frac{\partial x}{\partial \tau}\partial_x+\frac{\partial y}{\partial \tau}\partial_y+\frac{\partial u}{\partial \tau}\partial_u+\frac{\partial v}{\partial \tau}\partial_v$ , pero eso no ayuda mucho :\

olof

@dingo_d: podría ser útil tratar sus coordenadas como un cambio de base en el espacio incrustado usando

ℓ

$\ell$ como cuarta coordenada. De esa manera obtienes una transformación invertible. Los vectores Killing que obtenga deben ser independientes de

ℓ

$\ell$ y restringiéndolos a una constante

ℓ

$\ell$ rebanada da la

A d S_{3}

$AdS_3$ Matar vectores.

dingo_d

Debería poder cambiar la base con:

V^{μ'} = V^{μ} g_{μ ν} \frac{\partial x^{ν}}{\partial x^{ν'}} g^{μ' ν'}

$V^{\mu\prime}=V^\mu g_{\mu\nu} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu\prime}} g^{\mu\prime \nu\prime}$ , donde están primadas las nuevas coordenadas (

τ, σ, ϕ

$\tau,\sigma,\phi$ ) y no imprimados son viejos (

x, y, u, v

$x,y,u,v$ ), pero no obtengo un buen resultado :\

Trimok · Answer 2

Escribe la matriz jacobiana $J$ ,definido por : $^t(dx,dy,du) = J~~ ^t(d\tau,d\sigma, d\omega)$ , e invertirlo, tienes $^t(\partial_x,\partial_y,\partial_u) = J^{-1} ~~^t(\partial_\tau,\partial_\sigma,\partial_\omega)$ .

El procedimiento anterior no le permite calcular $\partial_v$ .

Así que repita la misma operación, pero con el triplete: $^t(dx,dy,dv) = J'~~^t(d\tau,d\sigma, d\omega)$ .

Como verificación, la expresión para $\partial_x$ y $\partial_y$ debe ser el mismo en los 2 casos, de lo contrario algo anda mal.

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dingo_d

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joshfísica

dingo_d

dingo_d

olof

dingo_d

Trimok

dingo_d

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