Definición de tensión de corte

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Definición de tensión de corte

efectivo
Física
tensión-deformación
ciencia material
mecanica clasica
mecanica-newtoniana

Colin Hicks

Del artículo de Wikipedia sobre deformación , la tensión de corte se define como el ángulo de la deformación. Siempre lo había considerado como la relación límite de la diferencia en el desplazamiento perpendicular del principio y el final de un elemento de línea con la longitud de ese elemento de línea.

\frac{\partial {tu}_{y}}{\partial X}

$\frac{\partial{u_y}}{\partial{x}}$

Dónde $u_y$ es el desplazamiento de un punto en el $y$ dirección. En este sentido, la definición sería similar a la de tensión normal. Es decir, una relación entre el cambio de longitud y la longitud original. ¿Por qué se define como el ángulo en su lugar?

Entiendo que en longitudes muy pequeñas (longitudes diferenciales) las dos son iguales. Para esfuerzo cortante puro,

\frac{\partial {tu}_{y}}{\partial X} = broncearse (α) \approx α; α \approx 0

$\frac{\partial{u_y}}{\partial{x}}=\tan{(\alpha)}\approx\alpha\;\;;\alpha\approx0$

Pero, ¿por qué se define como el ángulo y no como la razón?

jon custer

Porque todo se definió en el límite de deformación pequeño y lineal desde el principio.

Respuestas (1)

Definición de tensión de corte

Porque todo se definió en el límite de deformación pequeño y lineal desde el principio.

Chet Miller · Answer 1

Sean (x,y) las coordenadas de un punto material arbitrario en la configuración no deformada del material, y sean u(x,y) y v(x,y) los desplazamientos de este punto material en las direcciones xey , respectivamente. Entonces las coordenadas del punto material en la configuración deformada del material son (x+u,y+v). El vector de posición diferencial entre dos puntos muy próximos en la configuración deformada del material será:

d s = (d X + \frac{\partial tu}{\partial X} d X + \frac{\partial tu}{\partial y} d y) i + (d y + \frac{\partial v}{\partial X} d X + \frac{\partial v}{\partial y} d y) j

$\mathbf{ds}=\left(dx+\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)\mathbf{i}+\left(dy+\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)\mathbf{j}$ El cuadrado de este vector de posición diferencial (en la configuración deformada del cuerpo) viene dado, en términos lineales en los desplazamientos, por:

(d s)^{2} = (d X)^{2} + (d y)^{2} + 2 \frac{\partial tu}{\partial X} (d X)^{2} + 2 \frac{\partial tu}{\partial y} d X d y + 2 \frac{\partial v}{\partial y} (d y)^{2} + 2 \frac{\partial v}{\partial X} d X d y

$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+2\frac{\partial u}{\partial x}(dx)^2+2\frac{\partial u}{\partial y}dxdy+2\frac{\partial v}{\partial y}(dy)^2+2\frac{\partial v}{\partial x}dxdy$ Si restamos el cuadrado de la longitud del vector de posición diferencial en la configuración no deformada del material, obtenemos:

(d s)^{2} - (d s)_{0}^{2} = 2 \frac{\partial tu}{\partial X} (d X)^{2} + 2 (\frac{\partial tu}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial X}) d X d y + 2 \frac{\partial v}{\partial y} (d y)^{2}

$(ds)^2-(ds)_0^2=2\frac{\partial u}{\partial x}(dx)^2+2\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)dxdy+2\frac{\partial v}{\partial y}(dy)^2$ dónde

(d s)_{0}^{2} = (d X)^{2} + (d y)^{2}

$(ds)^2_0=(dx)^2+(dy)^2$ A continuación, si dividimos por

(d s)_{0}^{2}

$(ds)^2_0$ , obtenemos:

\frac{(d s)^{2} - (d s)_{0}^{2}}{(d s)_{0}^{2}} = 2 [\frac{\partial tu}{\partial X} {porque}^{2} α + (\frac{\partial tu}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial X}) porque α pecado α + \frac{\partial v}{\partial y} {pecado}^{2} α]

$\frac{(ds)^2-(ds)_0^2}{(ds)^2_0}=2\left[\frac{\partial u}{\partial x}\cos^2{\alpha}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\frac{\partial v}{\partial y}\sin^2{\alpha}\right]$ El término entre paréntesis es la deformación en el vector de posición diferencial entre las configuraciones no deformada y deformada del material:

ϵ = ϵ_{X X} {porque}^{2} α + 2 ϵ_{X y} porque α pecado α + ϵ_{y y} {pecado}^{2} α

$\epsilon=\epsilon_{xx}\cos^2{\alpha}+2\epsilon_{xy}\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\epsilon_{yy}\sin^2{\alpha}$ Esto ilustra cómo las derivadas parciales de los desplazamientos (incluidas las componentes de corte) se relacionan con los cambios de longitud de los elementos materiales.

Genial, eso en realidad tiene mucho sentido conceptual cuando ves que todo se deriva de cero de esa manera. ¡Gracias!

Definición de tensión de corte

Colin Hicks

jon custer

Respuestas (1)

Chet Miller

Colin Hicks

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