Efecto Aharonov-Bohm y cuantificación de flujo en superconductores

Según Wigner, la función de onda de una partícula cuántica puede tener varios valores, es decir, puede adquirir una fase no trivial alrededor de un circuito cerrado. Una fase no es trivial cuando no se puede eliminar usando una transformación de calibre por$e^{i \alpha(\theta)}$, con una función verdadera$\alpha$, es decir,$\alpha(2\pi) = \alpha(0)$. Las funciones de onda que tienen esta propiedad son secciones de haces de líneas no triviales sobre la variedad de configuración.

La razón por la que no se requiere que una función de onda sea una función verdadera es porque su fase y magnitud generales no son físicas, si uno define las expectativas cuánticas como:

Tales funciones de onda surgen cuando la variedad de configuración no está simplemente conectada con un grupo de cohomología no trivial$\mathcal{H}^{1}(M,\mathbb{R})$(Este es el caso del círculo). En este caso, existirán potenciales vectoriales en la variedad que no son los gradientes de una función verdadera en la variedad.$A \ne d\alpha(\theta)$. con,$\alpha(2\pi) =\alpha(0)$. Sin embargo, no es necesario cuantificar el flujo, ya que la función de onda no necesita ser una función verdadera en la variedad de configuración. Por el contrario, si el flujo se hubiera cuantificado, entonces no se habría observado ningún efecto Aharonov-Bohm. Una condición de cuantificación ocurre cuando$\mathcal{H}^{2}(M,\mathbb{R})$(La condición de cuantización de Dirac), pero este es el caso de una partícula que se mueve sobre una esfera en lugar de un círculo.

Sin embargo, este no es el caso en la superconductividad. La diferencia entre las dos situaciones radica en que la "función de onda macroscópica" de un superconductor no es una "función de onda". es decir, no es la representación coordinada de un vector de estado en un espacio de Hilbert. Es un campo cuántico que describe los bosones de Goldstone (par de Cooper) de la fase superconductora (generalmente llamado parámetro de orden). El módulo de la función de onda macroscópica$\left|\Psi \left( \theta \right) \right|^2$describe el operador de densidad numérica de los bosones de Goldstone. Sus funciones de dos puntos describen las correlaciones (de largo alcance). Este campo cuántico se acopla mínimamente al electromagnetismo, por lo que su ecuación de movimiento es similar a la ecuación de Schrödinger de una partícula acoplada al electromagnetismo. Pero la principal diferencia de este campo es un verdadero campo escalar y no una sección de un paquete de líneas. Esto nos da la razón por la que la fase que adquiere en un ciclo completo debería desaparecer porque, de lo contrario, por ejemplo, sus funciones de correlación dependerían de cuántas veces se envolvió el círculo.

Solo agrego a la respuesta de @ Xcheckr, que creo que es la más correcta: los campos cuánticos siempre tienen un solo valor. En un superconductor, es energéticamente favorable minimizar el término cinético$|D_A\psi|^2$, donde$\psi$es el parámetro de orden superconductor.$D_A\psi=0$implica que la fase de$\psi$se determina a través del transporte paralelo mediante la exponenciación$iq\int A$, y esto junto con el valor único de$\psi$hace cumplir la cuantificación de flujo.

En una configuración de efectos AB, por el contrario, no hay ninguna razón energética para establecer$D_A\psi=0$, y así la fase de$\psi(x)$no será determinado por$\exp(iq\int A)$. Esto significa que para algún valor genérico del flujo, la magnitud$|\psi|$no será constante (por ejemplo, pasará por cero en algún punto), que es de donde proviene la interferencia en el efecto AB. en un superconductor$|\psi|$debe ser constante por razones energéticas, por lo que el flujo se cuantifica en un SC.

Si bien ambas respuestas dadas en algún sentido son correctas, la verdadera razón tiene que ver con consideraciones energéticas. Se trata de qué es más fuerte y se puede formular como la siguiente pregunta: ¿Se alterará la función de onda para acomodar el flujo, o el flujo se cuantificará a sí mismo porque la función de onda está tratando de permanecer en un solo valor?

Como ejemplo de lo que quiero decir: el flujo se cuantifica en el caso de los superconductores hasta cierto punto. Se puede aumentar el flujo dentro del anillo superconductor hasta que se destruya la superconductividad (aunque el campo magnético en sí no esté en contacto con el superconductor). Esto ocurrirá simplemente porque el condensado superconductor no tendrá suficiente energía para mantener el flujo cuantificado en valores grandes del flujo.

Debido a que el superconductor, en cierto sentido, puede considerarse como una función de onda macroscópica con mucha energía, el flujo se cuantifica en el caso del superconductor. En el caso de Aharonov-Bohm, tenemos un solo electrón (o un haz de electrones incoherentes), que no tiene suficiente energía para alterar el flujo.

Todo el efecto Aharonov-Bohm, una fase no trivial, en realidad se debe nada más que a una desviación de la regla de cuantificación del flujo. El ángulo que podemos medir como el cambio del patrón de interferencia en el efecto Aharonov-Bohm es

Entonces, la regla de cuantificación de flujo convencional es$\Delta \phi = 2\pi k$por$k\in{\mathbb Z}$lo que significa nada más que "el solenoide se comporta exactamente como si no hubiera solenoide".

Así es como derivamos la cuantificación del flujo en primer lugar. Los monopolos magnéticos, por ejemplo (agrego una tercera situación importante donde la cuantificación del flujo merece ser discutida), deben obedecer la regla de cuantificación de Dirac que es equivalente a la regla de cuantificación del flujo a través de la superficie que los rodea. Y tienen que obedecerlo exactamente para la cuerda de Dirac: una línea semi-infinita que comienza desde el monopolo magnético donde$\vec A$es inevitablemente singular y que debe existir porque${\rm div}\,\vec B\neq 0$más – ser inobservable. La cadena de Dirac no es más que un solenoide de Aharonov-Bohm, sin embargo, uno que sabemos que no es observable porque allí no hay materia y requerimos que la ubicación de la cadena de Dirac sea una convención pura.

Tenga en cuenta que hay una diferencia entre las superficies anteriores. La cuantificación del flujo (que no se sostiene) en el efecto Aharonov-Bohm cuenta el flujo a través de una región abierta en forma de disco; en la regla de cuantización de Dirac, es una superficie cerrada, una esfera alrededor de un monopolo. Es solo el último flujo a través de una superficie cerrada lo que debe cuantificarse.

Ahora, en el superconductor, los pares de electrones actúan como bosones que producen efectivamente un campo escalar clásico complejo$\Psi$. su cargo es$2e$porque está compuesto por pares de electrones. Ahora, el valor esperado de vacío de$|\Psi|^2$es una constante distinta de cero, pero la fase de$\Psi$es arbitrario En particular, cuando estudias cómo la fase de$\Psi$cambia si rodea el límite de un anillo, descubrirá que vuelve a la fase original, pero puede "dar vueltas alrededor de cero"$w$tiempos, un número sinuoso, y este número entero$w$mide exactamente el flujo magnético en las unidades del flujo magnético del superconductor (que es$1/2$veces el monopolo magnético mínimo dual al electrón).

Esta condición de que "la fase de$\Psi$tiene que volver a sí mismo" es matemáticamente equivalente a lo que usamos en la discusión de cuantización de Dirac del monopolo magnético: su fase está cambiando tanto como cuando un electrón estaba rodeando la cuerda de Dirac (o solenoide) en los dos ejemplos anteriores. Una diferencia es que ahora, se debe permitir que un par de electrones rodee pacíficamente el anillo sin cambiar la función de onda, porque sigue siendo el mismo estado. Entonces, la fase cambia el doble de rápido y la unidad de flujo permitida es$1/2$de lo que era antes.

En el caso de los superconductores, la fase debe volver a su valor original (después de que el par de electrones haga un viaje de ida y vuelta alrededor del anillo) porque esta situación es cercana a la "cuerda de Dirac". En particular, requerimos que no haya ningún efecto observable del material dentro del disco simplemente porque no hay nada, no hay solenoide, etc., dentro del anillo. Al igual que con la cuerda de Dirac, la materia dentro del anillo tiene que ser invisible, no hay nada, lo que significa que la función de onda tiene que volver a su valor original después de una rotación de 360 ​​grados del par de electrones.

Resumen

Uno podría simplemente descartar estas tres situaciones como situaciones completamente diferentes, pero las matemáticas clave siguen siendo análogas en las tres situaciones, con algunas diferencias:

• la cuerda de Dirac o el interior del anillo superconductor debe actuar como si no hubiera nada, por lo que las funciones de onda deben volver a sí mismas, y por tanto imponer la regla de cuantización; es importante distinguir la topología abierta/cerrada de las superficies sobre las que se miden los flujos
• el solenoide Aharonov-Bohm contiene cosas, por lo que no hay pruebas válidas de que el solenoide deba ser invisible para los electrones que lo rodean y, de hecho, su patrón de interferencia puede cambiar como resultado
• hay que tener cuidado con las diferentes cargas elementales,$e$(o$e/3$si se incluyen quarks) en la cuerda de Dirac y/o en el solenoide de Aharonov-Bohm, y$2e$en el caso superconductor