¿Por qué son importantes las álgebras de von Neumann en la física cuántica?

como ya se mencionó, las álgebras de von Neumann están en el corazón de los enfoques axiomáticos de la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística, las referencias clásicas a estos temas son para los primeros (hay muchos más, por supuesto)

• Hellmut Baumgärtel: "Métodos operatoralgebraicos en la teoría cuántica de campos".

y para este último

• Ola Bratteli y Derek W. Robinson: "Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica". (dos tomos).

La idea básica es que los observables de una teoría física deberían tener alguna estructura algebraica, por ejemplo, debería ser posible escalarlos, es decir, medir c*A en lugar de A. Aún más, uno debería poder medir cualquier (medible, sin juego de palabras) función de cualquier A observable, lo cual es posible si A es un miembro de un álgebra de von Neumann por cálculo funcional de Borel. La filosofía de la teoría axiomática cuántica de campos en el sentido de Haag-Kastler es, por lo tanto, que una QFT específica se especifica mediante una red de álgebras de von Neumann que cumplen un conjunto específico de axiomas, y que todo lo demás puede deducirse de esta red de álgebras (por un ejemplo vea la página en el nLab aquí ).

Como señaló Lubos, este ansatz ha tenido mucho éxito en probar muchas ideas/teoremas independientes del modelo, como el PCT y el teorema de espín/estadística, pero no ha tenido éxito en describir el modelo estándar, que yo sepa, no lo es. Es posible usar este ansatz para calcular cualquier número que pueda compararse con cualquier experimento, lo que pone en perspectiva algunas críticas a la teoría de cuerdas en este sentido.

Por otro lado, es posible derivar el efecto Unruh y la radiación de Hawking utilizando este marco de una manera mucho más rigurosa de lo que hicieron los autores originales; para obtener más detalles, consulte Robert M. Wald: "Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo". y la termodinámica del agujero negro". (Aunque algo anticuado, este sigue siendo un buen lugar para comenzar).

Dos resultados sorprendentes donde la profunda conexión entre la intuición física y la (profunda) teoría matemática de las álgebras de von Neumann son visibles involucran al grupo modular de álgebras de von Neumann con un vector separador y cíclico:

• la caracterización de estados KMS en mecánica estadística,

• el teorema de Bisognano-Wichmann que conecta el automorfismo del grupo modular con la representación del grupo de Lozentz; para obtener más ideas sobre el uso de la teoría modular, consulte el artículo "Teoría modular para las álgebras de von Neumann de la física cuántica local" de Daniele Longo en arXiv.

El teorema de Bisognano-Wichmann dice que, bajo condiciones específicas, el grupo modular (del álgebra de von Neumann asociada con una región de cuña en el espacio de Minkowski) coincide con los impulsos de Lorentz (que mapean la cuña sobre sí misma), por lo que aquí tenemos una conexión muy no trivial de un objeto matemático obtenido de la teoría estructural de las álgebras de von Neumann (teoría modular) con un objeto proveniente de la relatividad especial (una representación del grupo de Lorentz).

[Una vez más, leer la respuesta de @Lubos despertó estos recuerdos en mi mente. Gracias por la inspiración @Lubos :)]

@student: todo lo que dice @Lubos en esta respuesta es válido. Dado que las álgebras de von Neumann son una bestia exótica en la actualidad en lo que se refiere a su aplicación en la física, conozco tres casos en los que han tenido una influencia directa o indirecta significativa en la física teórica.

1. Todo el programa de teoría de nudos y múltiples invariantes, etc., como se representa en el trabajo de Witten sobre TQFT (teorías topológicas cuánticas de campos), se debe en gran parte al descubrimiento de Vaugh Jones de un nudo invariante conocido como (obviamente) el polinomio de Jones . Sólo conozco un vago esbozo de cómo llegó a este descubrimiento, pero sé que sucedió en el curso de sus investigaciones sobre una clase particular (¿tipo III?) de álgebras de von Neumann.

2. El programa de geometría no conmutativa de Connes también tiene sus raíces en el estudio de las álgebras de von Neumann, si no me equivoco. La geometría no conmutativa está llegando a la mayoría de edad con una gran cantidad de aplicaciones que van desde métodos para unificar las partículas del modelo estándar hasta comprender el efecto hall cuántico. NCG también surge naturalmente en modelos de cosmología e inflación inspirados en cuerdas, [Referencia]

3. Finalmente, Connes y Rovelli propusieron la intrigante "hipótesis del tiempo térmico" para tratar de resolver algunos de los dilemas relacionados con la noción de evolución y dinámica del "tiempo" que surgen en las teorías de la gravedad cuántica donde el hamiltoniano es una restricción pura - como es el caso del programa "Canonical Quantum Gravity". Su construcción se basa en una cierta propiedad de las álgebras de von Neumann. Para citar de su resumen:

   ... proponemos ... que en una teoría cuántica generalmente covariante, el flujo de tiempo físico no es una propiedad universal de la teoría mecánica, sino que está determinado por el estado termodinámico del sistema ("hipótesis del tiempo térmico"). Implementamos esta hipótesis utilizando una propiedad estructural clave de las álgebras de von Neumann: el teorema de Tomita-Takesaki, que permite derivar un flujo de tiempo, es decir, un grupo de automorfismos de un parámetro del álgebra observable, a partir de un estado físico térmico genérico . Estudiamos este flujo de tiempo, su límite clásico, y lo relacionamos con varios hechos teóricos característicos, como la temperatura de Unruh y la radiación de Hawking.

Por supuesto, todas estas son aplicaciones de sonido bastante específicas y esotéricas, por lo que, como señaló @Lubos, los vNA son mucho más omnipresentes en la física teórica.

Su impresión de que los físicos no hablan de las álgebras de von Neumann es totalmente válida. Los operadores en el espacio de Hilbert quizás satisfagan la definición de un álgebra de von Neumann, pero no hace que los resultados específicos de esta parte de las matemáticas sean útiles en física. Las álgebras de von Neumann no están vinculadas a ninguna "pieza específica" de conocimiento o mecanismo interesante que los físicos tengan que aprender.

Una excepción fue la teoría cuántica algebraica o axiomática de campos, a la que le gustaba hablar sobre el álgebra de von Neumann, pero finalmente se convirtió en una subdisciplina marginal de la física teórica. AQFT realmente no funciona: no es compatible con los últimos 40 años de conocimientos físicos fundamentales sobre la teoría cuántica de campos, como el Grupo de Renormalización. Por lo tanto, es poco probable que el "enfoque" particular del álgebra de von Neumann, en comparación con cualquier álgebra de operadores en un espacio lineal, sea relevante para algunas ideas importantes.

Además de la teoría cuántica de campos, la noción de álgebras de von Neumann también es mencionada a veces por físicos que estudian física estadística y otros campos, pero creo que es correcto decir que solo los físicos que han pasado por alguna educación matemática en el pasado pueden ser vistos como capaces. "espontáneamente" comienzan a utilizar el concepto de álgebras de von Neumann. Seguramente, las álgebras no se han convertido en un tema estándar de los cursos de pregrado o posgrado dirigidos a físicos teóricos y creo que incluso la mayoría de los físicos teóricos de primer nivel no saben exactamente qué son y qué no son las álgebras.

Claramente, John von Neumann, quien los introdujo, pensaría que se volverían mucho más importantes en física en esos 80 años de lo que se han vuelto. Von Neumann puede contarse como uno de los padres fundadores de la mecánica cuántica; entre estos padres, él fue claramente el más matemático (abstracto) y muchas de sus sugerencias simplemente no se convirtieron en estándar. Eso también es cierto para algunos otros conceptos que introdujo en la mecánica cuántica, incluida la lógica cuántica. Aun así, era un tipo inteligente.

Parece un buen momento para actualizar este tema, al menos en un desarrollo cada vez más activo en el campo de la física de la materia condensada, ya que esta discusión es parte de muy pocas sobre el tema del Álgebra de Von Neumann.

Insisto en que el tema mencionado es un esfuerzo actual, y aún no se ha concluido nada. Sin embargo, para los estudiantes/investigadores interesados ​​en tratar de responder preguntas de física matemática utilizando el álgebra de Von Neumann, esta es sin duda una dirección prometedora a seguir y, por lo tanto, es importante mencionarla ya en esta etapa.

Para empezar, recordemos brevemente por qué el marco algebraico del operadorde la mecánica estadística cuántica es una parte importante de la física: el concepto de fase y transición de fase es un fenómeno matemático bien definido sólo en el límite termodinámico. Por ejemplo, recuerde que siempre se supone que una "ruptura de simetría espontánea" de un modelo de Ising está "en el límite termodinámico", porque las dos fases "toda arriba" y "toda abajo" tienen que estar separadas por una brecha de energía infinita. , de modo que uno esté seguro de que ningún operador local (es decir, ningún operador que actúe en un número finito de giros) puede cambiar de un estado a otro. Sin embargo, en la mecánica cuántica, estos términos más amplios de "ruptura de simetría" y "fase" o "sector" se emplean muy a menudo de manera relajada. La razón de esto es que un espacio de Hilbert de dimensión infinita (por ejemplo, una red infinita de espines en 2D) es un objeto que requiere las herramientas de la mecánica estadística cuántica algebraica, en la que los estados ya no son simplemente vectores en un espacio de Hilbert. Por lo general, el investigador puede evitar el uso de este marco al encontrar explícitamente un límite de alguna cantidad como la energía, según el tamaño del sistema, y ​​hacer que el tamaño crezca hasta "infinito". Como tal se han encontrado muchos resultados muy rigurosos y pioneros.

Recordando esto, como se conoce comúnmente en toda la comunidad de física cuántica ahora, la clasificación de las fases cuánticas de la materia es un dominio muy activo y desafiante. Entre las clases de fases se encuentran las fases no invertibles, comúnmente denominadas de orden topológico, para las cuales ya se sabe que el marco matemático es la teoría de categorías. Ha sido objeto de gran atención en los últimos 20 años. Sin embargo, como cualquier fase cuántica, para estar bien definida matemáticamente, una fase ordenada topológicamente debe estudiarse en el límite termodinámico y la clasificación de estas fases es una tarea matemáticamente complicada: interactúan con fases entrelazadas de largo alcance y encuentran un "índice" ( una cantidad matemática robusta que distingue fases) parecen requerir trabajar directamente en el límite termodinámico.https://arxiv.org/abs/2111.07335 para un caso muy comprensible de SPT. Recientemente se ha propuesto (pero de hecho asumido desde el principio por una pequeña comunidad de investigadores) que la clasificación de orden topológico también debería tener éxito en el marco algebraico del operador, donde los sectores de superselección , como se define aquí http:/ /nlab-pages.s3.us-east-2.amazonaws.com/nlab/show/DHR+superselection+theory , se espera que sean el objeto esencial y muestren rigurosamente la aparición de categorías de tensores trenzados. En este esfuerzo activo de investigación, el álgebra de Von Neumann juega un papel importante: https://arxiv.org/abs/1608.02618 . En esta misma dirección, la entropía de entrelazamiento topológicose cree que está rigurosamente definido gracias al índice de Jones: https://arxiv.org/abs/2106.15741 . No es tan sorprendente ver el trabajo de V. Jones aparecer aquí, ya que el orden topológico y la entropía de entrelazamiento topológico se derivan, en este punto, solo de los argumentos de la teoría cuántica topológica de campos, en los que el trabajo de Jones sobre los nudos es central.