Estrella de neutrones: aceleración de caída libre

Supongo que todas sus preguntas se refieren a si los efectos relativistas generales se vuelven importantes en la superficie de una estrella de neutrones. Para responder esto podemos comparar la métrica del espacio plano (en coordenadas polares):

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2 \tag{1}$$

con la métrica de Schwarzschild que describe la geometría fuera de una masa esféricamente simétrica:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)} + r^2 d\Omega^2 \tag{2}$$

La diferencia es que el factor de$1-2GM/c^2r$, que también podemos escribir como$1-r_s/r$dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild -$r_s = 2GM/c^2$. Alimentando la masa y el radio de la estrella de neutrones, encontramos que este factor es aproximadamente$0.72$, por lo que los efectos relativistas generales son realmente importantes.

Su pregunta (1) se responde en ¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? . La aceleración coordinada medida por un observador en la superficie es:

$$a = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}} \tag{3}$$

por lo que difiere de la predicción newtoniana por (en este caso) un factor de aproximadamente$\sqrt{0.72}$.

Con respecto a sus preguntas (2) y (3), no conozco la expresión para la aceleración de coordenadas medida lejos de la estrella, pero no será lo mismo que la ecuación (3). Un observador distante ve objetos que caen lentamente a medida que se acercan al horizonte de eventos y se acercan asintóticamente a velocidad cero en el horizonte. Entonces, la aceleración coordinada es obviamente diferente de la aceleración coordinada medida cerca del horizonte.

Habiendo leído la respuesta anterior de John Rennie, voy a dar una respuesta que, con suerte, tenga el mismo sentido, que con suerte tenga sentido, pero que con suerte resuelva un problema.

1. ¿La aceleración de caída libre es la misma que la aceleración coordinada para un observador hipotético en reposo sobre la superficie de la estrella?

Si y no. Sí, porque el cuerpo que cae cae como cae, independientemente de cómo lo describan los dos observadores. Sin embargo, no es porque el observador en la superficie está sujeto a la dilatación del tiempo gravitacional. Va más lento, así que diría que las cosas caen más rápido.

2. ¿La aceleración de caída libre es la misma que la aceleración coordinada de un observador en reposo a una gran distancia de la estrella?

Si y no. Sí, porque el cuerpo cae como cae, y porque esta pregunta busca una respuesta newtoniana en la que la aceleración de caída libre es la que describe el observador distante mediante una expresión simple. Sin embargo, es no porque la respuesta newtoniana está comenzando a divergir de la respuesta GR, y se avecina una contradicción.

3. ¿La aceleración de caída libre en la superficie tiene el mismo valor según ambos observadores?

No. Sus segundos son diferentes, no están de acuerdo en que es alrededor de 8,2 x 10¹¹ m/s². E incluso cuando comparan notas y tienen en cuenta la dilatación del tiempo gravitacional, esa contradicción aún se avecina. LOL, me recuerda al final de Terminator cuando el chico dice que se avecina una tormenta .

4. ¿Es el enfoque newtoniano$a=F_g/m=G*M_{star}/R^2$correcto, considerando la fuerte gravedad en la superficie?

No. Ahora mire lo que dijo John Rennie cuando se refirió al agujero negro. El observador distante ve el objeto que cae lentamente a velocidad cero . Entonces, en el límite, el observador distante no dice que la gravedad sea fuerte en la superficie. Dice que se va.

¡Houston, tenemos un problema!