Un potencial gravitacional inestable y sus puntos críticos

Toma 4 puntos dispuestos en un cuadrado. El centro del cuadrado es un punto crítico por simetría, y el punto medio de los cuatro lados del cuadrado sería un punto crítico solo por los dos vértices que une, ignorando los otros dos. Pero los otros dos están un poco más del doble de lejos, por lo que la fuerza es ocho veces menor, por lo que si acerca el punto al centro del cuadrado en una cantidad de aproximadamente 1/8 del camino hacia el otro lado, cancelará la fuerza del par lejano de la fuerza del par cercano. Entonces, hay 5 puntos críticos para cuatro puntos en un cuadrado, y esto es válido para todas las fuerzas que disminuyen lo suficientemente rápido.

Usando cuadrados de cuadrados, creo que es fácil establecer que el número de puntos críticos es genéricamente$n^2$. Creo que es un problema matemático difícil e interesante establecer cualquier tipo de límite no trivial en el número de puntos críticos. El límite trivial es del orden de la ecuación polinomial que obtienes, y es absurdamente grande---- crece como$2^n$.

EDITAR: La tasa de crecimiento correcta

La respuesta para una configuración general es casi con seguridad N+C puntos críticos (esto debería ser un límite superior y un límite inferior para dos C diferentes --- No lo probé, pero tengo una heurística, tal vez horrible). Para el caso de los polígonos, existen N+1 puntos críticos. Para cuadrados donde las esquinas se expanden a cuadrados, y así sucesivamente fractalmente, el número de puntos críticos es N+C donde C es una pequeña constante explícita. Lo mismo para poygons de polígonos.

Encontré una forma ingeniosa de analizar el problema y obtener algunas buenas estimaciones, pero quiero saber qué tan buenos son los matemáticos en esto antes de dar la respuesta. ¿Quizás puedas hacer esta pregunta en MathOverflow?

En esta respuesta analizamos una generalización de la pregunta de OP. En la última sección 6 argumentaremos heurísticamente que se debe esperar un límite superior de puntos críticos de la forma

$$c(M)~\leq~~5n-11 \qquad {\rm for} \qquad n\geq 3.$$

1. Identifiquemos el avión.$\mathbb{R}^2\cong \mathbb{C}$con el plano complejo$z=x+\mathrm{i} y$. Dejar

   $$Z:=\{z_1, \ldots, z_n\}\subseteq \mathbb{C}$$ ser un conjunto de$n$diferentes pinchazos en el plano complejo, donde$n\in\mathbb{N}$. Considere el plano complejo perforado$M:=\mathbb{C} \backslash Z$y la esfera de Riemann $S^2:=\mathbb{C} \cup \{\infty\}$con números Betti $$b_0(M)~=~1, \qquad b_1(M)~=~n, \qquad b_2(M)~=~0,$$ $$b_0(S^2)~=~1, \qquad b_1(S^2)~=~0, \qquad b_2(S^2)~=~1,$$ y características de Euler $$\chi(M)~=~b_0(M)-b_1(M)+b_2(M)~=~ 1-n,$$ $$\chi(S^2)~=~b_0(S^2)-b_1(S^2)+b_2(S^2)~=~ 2,$$ respectivamente.

2. Dejar$p>0$y$k_1, \ldots, k_n >0$ser$n+1$constantes positivas. Deja que el potencial$V:M \to]0,\infty[$y su extensión$\tilde{V}: S^2 \to [0,\infty]$ser

   $$V(z)~:=~\sum_{i=1}^n \frac{k_i}{p|z-z_i|^p},$$ $$\tilde{V}(z)~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} V(z) &{\rm for}& z \in M, \cr +\infty &{\rm for}& z \in Z, \cr 0 &{\rm for}& z \in\{\infty\}. \end{array} \right.$$ Dejar $$\begin{align} c_0~:=~& \#{\rm minimum~pts}, \cr c_1~:=~& \#{\rm saddle~pts}, \cr c_2~:=~& \#{\rm maximum~pts},\end{align}$$ Entonces $$\begin{align}c_0(S^2)~=~&c_0(M)+1, \cr c_1(S^2)~=~&c_1(M), \cr c_2(S^2)~=~&c_2(M)+n, \end{align}$$
   porque$z=\infty$es un punto mínimo y$Z$son puntos máximos para$\tilde{V}$.

3. Definir dos funciones positivas$E, F:M \to\mathbb{R}_{+}$como

   $$\begin{align}E(z)~:=~&\sum_{i=1}^n\frac{ k_i(x-x_i)^2}{|z-z_i|^{p+4}}~>~0,\cr F(z)~:=~&\sum_{i=1}^n\frac{ k_i(y-y_i)^2}{|z-z_i|^{p+4}}~>~0, \qquad z ~\in~M.\end{align}$$ El$2\times 2$ matriz Hessiana $H$por el potencial$V$es $$\begin{align}H_{xx}~=~&\sum_{i=1}^n k_i\frac{(p+1)(x-x_i)^2-(y-y_i)^2}{|z-z_i|^{p+4}} ~=~(p+1)E-F, \cr H_{yy}~=~&\sum_{i=1}^n k_i\frac{(p+1)(y-y_i)^2-(x-x_i)^2}{|z-z_i|^{p+4}} ~=~(p+1)F-E, \cr H_{xy}~=~&(p+2)\sum_{i=1}^n \frac{k_i(x-x_i)(y-y_i)}{|z-z_i|^{p+4}}, \qquad z ~\in~ M,\end{align}$$ con rastro positivo $$\begin{align} {\rm tr}H ~=~&H_{xx}+H_{yy}~=~p(E+F)\cr ~=~&p\sum_{i=1}^n \frac{k_i}{|z-z_i|^{p+2}}~>~0, \qquad z ~\in~ M.\end{align}$$ y determinante $$\begin{align} {\rm det}H ~=~&H_{xx}H_{yy}-H^2_{xy} \cr ~=~&\underbrace{(p^2+2p+2)EF}_{>0} - \underbrace{\left((p+1)(E^2+F^2)+H^2_{xy}\right)}_{>0}.\end{align}$$ Una condición suficiente para el determinante negativo es: $$F> (p+1)E \qquad \vee \qquad E> (p+1)F\qquad\Rightarrow \qquad {\rm det}H<0.$$ El elemento fuera de la diagonal$H_{xy}$está delimitado por $$\frac{|H_{xy}|}{p+2} ~\leq~\sum_{i=1}^n \frac{k_i|x-x_i||y-y_i|}{|z-z_i|^{p+4}} ~\leq~\frac{E+F}{2}.$$

4. La huella positiva${\rm tr}H>0$implica que no puede haber puntos máximos en$M$,

   $$c_2(M)~=~0 \qquad \Leftrightarrow \qquad c_2(S^2)~=~n .$$ un punto mínimo$z$debe tener determinante positivo${\rm det}H(z)>0$, mientras que un punto de silla$z$debe tener un determinante no positivo${\rm det}H(z)\leq 0$. De forma genérica, se puede suponer que todos los puntos críticos$z$en$M$no son degenerados${\rm det}H(z)\neq 0$, de modo que$V$es una función de Morse . Esto implica que todos los puntos críticos en$M$son puntos aislados. La teoría de Morse arroja que$^{1}$ $$c_2(M)-c_1(M)+c_0(M)~=~\chi(M)\qquad \Leftrightarrow \qquad c_2(S^2)-c_1(S^2)+c_0(S^2)~=~\chi(S^2),$$ o equivalente, $$c_1(M)-c_0(M)~=~n-1\qquad \Leftrightarrow \qquad c_1(S^2)-c_0(S^2)~=~n-2.$$

5. Lema: El determinante${\rm det}H(z)<0$es negativo lo suficientemente cerca del conjunto$Z$.

   Demostración esbozada del Lema: El conjunto abierto

   $$U := \{z\in M \mid {\rm det}H(z)>0\} ~=~\cup_a U_a$$ consta de una serie de componentes conectados$U_a$. Desde la restricción$V|_{U}$es cóncava hacia arriba , cada componente conectado$U_a$puede contener como máximo un punto mínimo.

6. Hasta ahora nuestro análisis es riguroso. En el resto de la respuesta especulamos. Heurísticamente, debería existir una triangularización de la esfera de Riemann .$S^2$con el conjunto$Z$como vértices, tales que cada cara contiene como máximo un punto mínimo. Suponga que esto es cierto. Sea el número de caras, aristas y vértices$f$,$e$, y$n$, respectivamente. Asumir$n\geq 3$. Entonces

   $$\begin{align} f-e+n ~=~&\chi(S^2)~=~ 2, \cr 2e~=~&\sum_{j\geq 3} j f_j~\geq~3f, \cr f~=~&\sum_{j\geq 3} f_j, \end{align}$$ implica que $$\frac{f}{2}~=~\frac{3f}{2}-f~ \leq~ e-f~=~n-2,$$ y por lo tanto, $$c_0(M)+1~=~c_0(S^2)~\leq~f~\leq~ 2(n-2)\qquad \Rightarrow \qquad c_0(M)~\leq~ 2n-5.$$ Entonces un límite superior para el número de puntos críticos en$M$se convierte $$c(M)~=~ c_{0}(M) + c_{1}(M) + c_{2}(M) ~=~ 2c_{0}(M)+n-1~\leq~ 5n - 11.$$

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$^{1}$Ingenuamente, la desigualdad de Morse implica que$c_{0}(M) \geq b_{0}(M)=1$, lo que obviamente es incorrecto para$n=1$. Esto se puede curar, si se toman las contribuciones de los límites en$M$debidamente en cuenta. La formulación en términos de la esfera de Riemann$S^2$no tiene este problema, porque no tiene límite.