Término límite de Gibbons-Hawking-York (GHY) para la métrica de Schwarzschild

El término límite de Gibbons-Hawking para una variedad de espacio-tiempo es explícitamente,

$$S_{GH}=\frac{1}{8\pi G}\int_{\partial M} d^3x \, \sqrt{|h|} \, K$$

dónde$\partial M$es el límite de$M$,$K$la curvatura extrínseca, y$h$el determinante de la métrica en el límite. Giremos Wick la métrica de Schwarzschild a,

$$ds^2 = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

Debemos imponer un corte radial$R > GM$. El vector normal en la frontera está dado por,

$$n=-\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\frac{\partial}{\partial r}$$

con un signo menos ya que requerimos la normal que apunta hacia afuera, que apunta hacia el bulto. La métrica en el límite entonces viene dada por,

$$ds^2=\left( 1-\frac{2GM}{R}\right)d\tau^2 + R^2d\Omega^2$$

La curvatura extrínseca es simplemente la divergencia de la normal:

$$K=\nabla_a n^a = \frac{1}{r^2}\partial_r (r^2 n^r) \biggr\rvert_{r=R}= -\frac{2}{R}\sqrt{1-\frac{2GM}{R}} - \frac{GM}{R^2} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{R}}}$$ ¿Puedes tomar el cálculo de aquí?