¿Cómo obtener las ecuaciones de campo en la teoría de Brans-Dicke a partir de la acción?

Question

¿Cómo obtener las ecuaciones de campo en la teoría de Brans-Dicke a partir de la acción?

DHA

La acción de la teoría de la gravedad de Brans-Dicke-Jordan es

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (\frac{ϕ R - ω \frac{\partial_{a} ϕ \partial^{a} ϕ}{ϕ}}{dieciséis π} + L_{METRO}) .

$\\S =\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\frac{\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi}}{16\pi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right).$ Y las ecuaciones de campo del campo gravitatorio son

{GRAMO}_{a b} = \frac{8 π}{ϕ} T_{a b} + \frac{ω}{ϕ^{2}} (\partial_{a} ϕ \partial_{b} ϕ - \frac{1}{2} {gramo}_{a b} \partial_{C} ϕ \partial^{C} ϕ) + \frac{1}{ϕ} (\nabla_{a} \nabla_{b} ϕ - {gramo}_{a b} ◻ ϕ) .

$G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2} (\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi).$ Traté de variar esta acción wrt

g_{a b}

$g_{ab}$ pero falló. ¿Cómo puedo obtenerlos de la acción? ¿Dónde puedo obtener la derivación detallada? ¡Gracias!

Andrés

¿Qué has intentado hasta ahora? ¿Está familiarizado con cómo variar la acción de Einstein Hilbert (ver, por ejemplo: en.wikipedia.org/wiki/… )? Si puede manejar la acción de Einstein Hilbert, esta es una extensión relativamente simple. Para variar la acción de Brans Dicke wrt

g^{a b}

$g^{ab}$ solo necesitas saber variar

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ ,

R

$R$ , y

g^{a b}

$g^{ab}$ , todos los cuales aparecen en la variación de Einstein Hilbert. (Aparte de lo técnico: por lo general, es más fácil variar wrt

g^{a b}

$g^{ab}$ que

g_{a b}

$g_{ab}$ ).

Andrés

Además, si miras los eoms,

G_{a b}

$G_{ab}$ y

T_{a b}

$T_{ab}$ tienen sentido, aparecen después de variar Einstein Hilbert. El término proporcional a

ω

$\omega$ es la energía de estrés para un campo escalar, por lo que tiene sentido. El término engañoso es el último. Hay algunas integraciones por partes que tienes que hacer para variar el término de Einstein Hilbert. Desde

ϕ

$\phi$ múltiplos

R

$R$ , recogerá algunos derivados adicionales en

ϕ

$\phi$ cuando varías

\sqrt{- g} ϕ R

$\sqrt{-g} \phi R$ que no estaban presentes después de variar

\sqrt{- g} R

$\sqrt{-g} R$ . Nuevamente, si varia cuidadosamente la acción de Einstein Hilbert, puede ver cómo surge este término.

DHA

Puedo derivar las ecuaciones de Einstein a partir de la acción de Einstein Hilbert, pero cuando varío

\sqrt{- g} ϕ R

$\sqrt{-g}\phi R$ No puedo obtener los derivados adicionales en

ϕ

$\phi$ . ¿Dónde puedo encontrar algunos detalles sobre esta derivación? Gracias.

Andrés

Hm, no conozco una fuente que lo haga en detalle. Pero así es básicamente cómo funciona. En wikipedia se puede ver que

δ R_{ν ρ σ}^{μ} \sim \nabla δ Γ

$\delta R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}\sim\nabla \delta \Gamma$ . En

\sqrt{- g} R

$\sqrt{-g}R$ , esto conduce a un término

\sqrt{- g} \nabla (δ Γ)

$\sqrt{-g} \nabla(\delta \Gamma)$ , que es una derivada total. Sin embargo, en Brans Dicke tienes

\sqrt{- g} ϕ \nabla (δ Γ)

$\sqrt{-g} \phi \nabla (\delta \Gamma)$ , que no es una derivada total. Necesitas volver a expresar

δ Γ

$\delta \Gamma$ en términos de

δ g

$\delta g$ , luego integre el

\nabla

$\nabla$ sobre

ϕ

$\phi$ . Hay un truco útil: en el sistema de referencia localmente inercial

\nabla δ Γ = \partial δ Γ

$\nabla \delta \Gamma = \partial \delta \Gamma$ .

Trimok

Tal vez este artículo le interese, mientras trata un caso más general. Las ecuaciones generales de Euler-Lagrange están dadas por ecuaciones

2, 3

$2,3$ . Brans-Dicke estándar corresponde a

f = - ω \frac{\partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ}{ϕ}

$f= -\omega \frac{\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi}{\phi}$ , toma también

J = Λ = 0

$J=\Lambda=0$ ), ver ecuaciones

12, 13

$12,13$ . Tenga cuidado de tener ecuaciones acopladas, por ejemplo

◻ ϕ

$\square\phi$ depende de

T

$T$ y

ω

$\omega$ , por lo que puede tener representaciones diferentes (pero equivalentes) para las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Trimok

Véase también wiki1 y wiki2

prahar

Duplicado: physics.stackexchange.com/questions/93157/…

Respuestas (3)

¿Cómo obtener las ecuaciones de campo en la teoría de Brans-Dicke a partir de la acción?

¿Qué has intentado hasta ahora? ¿Está familiarizado con cómo variar la acción de Einstein Hilbert (ver, por ejemplo: en.wikipedia.org/wiki/… )? Si puede manejar la acción de Einstein Hilbert, esta es una extensión relativamente simple. Para variar la acción de Brans Dicke wrt $g^{ab}$ solo necesitas saber variar $\sqrt{-g}$ , $R$ , y $g^{ab}$ , todos los cuales aparecen en la variación de Einstein Hilbert. (Aparte de lo técnico: por lo general, es más fácil variar wrt $g^{ab}$ que $g_{ab}$ ).
Además, si miras los eoms, $G_{ab}$ y $T_{ab}$ tienen sentido, aparecen después de variar Einstein Hilbert. El término proporcional a $\omega$ es la energía de estrés para un campo escalar, por lo que tiene sentido. El término engañoso es el último. Hay algunas integraciones por partes que tienes que hacer para variar el término de Einstein Hilbert. Desde $\phi$ múltiplos $R$ , recogerá algunos derivados adicionales en $\phi$ cuando varías $\sqrt{-g} \phi R$ que no estaban presentes después de variar $\sqrt{-g} R$ . Nuevamente, si varia cuidadosamente la acción de Einstein Hilbert, puede ver cómo surge este término.
Puedo derivar las ecuaciones de Einstein a partir de la acción de Einstein Hilbert, pero cuando varío $\sqrt{-g}\phi R$ No puedo obtener los derivados adicionales en $\phi$ . ¿Dónde puedo encontrar algunos detalles sobre esta derivación? Gracias.
Hm, no conozco una fuente que lo haga en detalle. Pero así es básicamente cómo funciona. En wikipedia se puede ver que $\delta R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}\sim\nabla \delta \Gamma$ . En $\sqrt{-g}R$ , esto conduce a un término $\sqrt{-g} \nabla(\delta \Gamma)$ , que es una derivada total. Sin embargo, en Brans Dicke tienes $\sqrt{-g} \phi \nabla (\delta \Gamma)$ , que no es una derivada total. Necesitas volver a expresar $\delta \Gamma$ en términos de $\delta g$ , luego integre el $\nabla$ sobre $\phi$ . Hay un truco útil: en el sistema de referencia localmente inercial $\nabla \delta \Gamma = \partial \delta \Gamma$ .
Tal vez este artículo le interese, mientras trata un caso más general. Las ecuaciones generales de Euler-Lagrange están dadas por ecuaciones $2,3$ . Brans-Dicke estándar corresponde a $f= -\omega \frac{\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi}{\phi}$ , toma también $J=\Lambda=0$ ), ver ecuaciones $12,13$ . Tenga cuidado de tener ecuaciones acopladas, por ejemplo $\square\phi$ depende de $T$ y $\omega$ , por lo que puede tener representaciones diferentes (pero equivalentes) para las ecuaciones de Euler-Lagrange.

jamals · Answer 1

La acción que describe la teoría de Brans-Dicke está dada por,

S = \frac{1}{dieciséis π GRAMO} \int d^{4} X \sqrt{| gramo |} (- Φ R + \frac{ω}{Φ} \partial_{m} Φ \partial^{m} Φ)

$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4x \, \sqrt{|g|} \left( -\Phi R + \frac{\omega}{\Phi}\partial_\mu \Phi \partial^\mu \Phi \right)$

que presenta un campo escalar $\Phi$ acoplamiento a la gravedad a través del escalar de Ricci, y con su propio término cinético. Para obtener las ecuaciones de movimiento, variamos nuestra acción con respecto a la escalar y la métrica, así,

d S = \frac{1}{dieciséis π GRAMO} \int d^{4} X d Φ (- R - \frac{2 ω}{Φ} ◻ Φ + \frac{ω}{Φ^{2}} \partial_{m} Φ \partial^{m} Φ)

$\delta S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \, \delta \Phi \left( -R - \frac{2\omega}{\Phi} \square \Phi + \frac{\omega}{\Phi^2} \partial_\mu \Phi \partial^\mu\Phi\right)$

- d {gramo}^{m v} (Φ {GRAMO}_{m v} - \frac{ω}{Φ} \partial_{m} Φ \partial_{v} Φ + \frac{1}{2} {gramo}_{m v} \frac{ω}{Φ} \partial_{λ} Φ \partial^{λ} Φ) + Φ (\nabla_{m} \nabla_{v} d {gramo}^{m v} - ◻ {gramo}_{m v} d {gramo}^{m v})

$-\delta g^{\mu\nu} \left(\Phi G_{\mu\nu}-\frac{\omega}{\Phi} \partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi + \frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\omega}{\Phi}\partial_\lambda \Phi \partial^\lambda \Phi\right) + \Phi (\nabla_\mu\nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}-\square g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})$ donde ya hemos realizado una integración por partes. De la variación, podemos deducir,

Φ {GRAMO}_{m v} - \nabla_{m} \nabla_{v} Φ + {gramo}_{m v} ◻ Φ - \frac{ω}{Φ} (\partial_{m} Φ \partial_{v} Φ - \frac{1}{2} {gramo}_{m v} (\nabla Φ)^{2}) = 8 π T_{m v}

$\Phi G_{\mu\nu} - \nabla_\mu \nabla_\nu \Phi + g_{\mu\nu} \square \Phi - \frac{\omega}{\Phi} \left( \partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} (\nabla\Phi)^2\right) = 8\pi T_{\mu\nu}$

para algunos antecedentes con tensor de tensión-energía $T_{\mu\nu}$ . Hay una ecuación adicional de movimiento debido al campo escalar, a saber,

Φ R + 2 ω ◻ Φ - \frac{ω}{Φ} (\nabla Φ)^{2} = 0

$\Phi R + 2\omega \square \Phi - \frac{\omega}{\Phi} (\nabla\Phi)^2 = 0$

que es cero siempre que el campo escalar no se acople a la materia de fondo. Ahora podemos hacer una trazada con respecto a la métrica de la primera ecuación, obteniendo,

- Φ R + 3 ◻ Φ + \frac{ω}{Φ} (\nabla Φ)^{2} = 8 π T

$-\Phi R+3\square \Phi + \frac{\omega}{\Phi}(\nabla \Phi)^2 = 8\pi T$

presuntuoso $d=4$ , dónde $T \equiv T^\mu_\mu$ . Sumando esta ecuación a la anterior, encontramos,

(3 + 2 ω) ◻ Φ = 8 π T .

$(3+2\omega) \square \Phi = 8\pi T.$

El parámetro $\omega$ mide la fuerza $\Phi$ parejas al contenido de la materia. Podemos reescribir las ecuaciones de campo de 'Einstein' como,

R_{m v} - \frac{1}{Φ} \nabla_{m} \nabla_{v} Φ + \frac{1}{Φ} {gramo}_{m v} ◻ Φ - \frac{ω}{Φ^{2}} \partial_{m} Φ \partial_{v} Φ = \frac{8 π}{Φ} T_{m v} - {gramo}_{m v} \frac{ω}{Φ} Φ ◻ Φ

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{\Phi}\nabla_\mu \nabla_\nu \Phi + \frac{1}{\Phi}g_{\mu\nu} \square \Phi - \frac{\omega}{\Phi^2}\partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi = \frac{8\pi}{\Phi}T_{\mu\nu} - g_{\mu\nu}\frac{\omega}{\Phi} \Phi \square \Phi$

expandiendo el tensor de Einstein y sustituyendo la relación entre el escalar y el campo de Ricci. Ahora podemos escribir una relación entre el tensor de Ricci, el campo y el tensor de tensión-energía, a saber,

R_{m v} - \frac{1}{Φ} \nabla_{m} \nabla_{v} Φ - \frac{ω}{Φ^{2}} \partial_{m} Φ \partial_{v} Φ = \frac{8 π}{Φ} (T_{m v} - \frac{(ω + 1)}{(3 + 2 ω)} T {gramo}_{m v})

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{\Phi}\nabla_\mu \nabla_\nu \Phi - \frac{\omega}{\Phi^2}\partial_\mu \Phi \partial_\nu \Phi = \frac{8\pi}{\Phi} \left( T_{\mu\nu}-\frac{(\omega+1)}{(3+2\omega)}T g_{\mu\nu} \right)$

maha · Answer 2

maha

He estado en tu situación. Estoy de acuerdo con Andrew y encontré esto útil http://arxiv.org/abs/1002.0617v4 . Vaya directamente al apéndice B, allí encontrará la respuesta de un problema idéntico y deberá usar el apéndice A también.

Brandon Enright

Hola maha, por lo general esperamos que las respuestas se mantengan solas. ¿Puede incluir un breve resumen de la solución a la que vincula o citar parte del contenido útil?

maha

@Brandon Bueno, en realidad soy un principiante en el campo y, como puede ver, evité usar cualquier símbolo porque todavía no puedo usar el lenguaje TeX. Tampoco tengo reputación para intentar guiar DHA a través de un comentario. Entonces ¡Tuve que usar lo que se me permite, que era responder! Sin embargo, editaré mi respuesta lo antes posible. Gracias Brandon.

rexciro · Answer 3

En "The Scalar-Tensor Theory of Gravitation", de Yasunori Fujii y Kei-ichi Maeda, puedes encontrar explícitamente la solución, en el Apéndice C (pág. 195). Personalmente, no me gustó mucho este libro e incluso esta demostración es muy difícil de seguir.

Así que lo hice de otra manera. Use la teoría habitual para la parte GR y aísle este término:

$\int d^4 x \sqrt{-g}\Phi \delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$

Entonces puedes usar la Identidad Palatini:

d R_{m v} = {(d Γ_{m v}^{α})}_{; α} - {(d Γ_{m α}^{α})}_{; v}

$\begin{equation} \delta R_{\mu\nu}=\left( \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} \right)_{;\alpha}-\left( \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} \right)_{;\nu} \end{equation}$

Entonces:

\begin{aligned} d R_{m v} {gramo}^{m v} & = {gramo}^{m v} [{(d Γ_{m v}^{α})}_{; α} - {(d Γ_{m α}^{α})}_{; v}] = \dots \\ \dots = {({gramo}^{m v} d Γ_{m v}^{α})}_{; α} - {({gramo}^{m v} d Γ_{m α}^{α})}_{; v} = {({gramo}^{m v} d Γ_{m v}^{β} - {gramo}^{m β} d Γ_{m α}^{α})}_{; β} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu} &=g^{\mu\nu}\left[ \left( \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} \right)_{;\alpha}-\left( \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} \right)_{;\nu} \right]= \dots \\ & \dots =\left(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} \right)_{;\alpha}-\left(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} \right)_{;\nu}=\left(g^{\mu\nu} \delta \Gamma^{\beta}_{\mu\nu} -g^{\mu\beta} \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha} \right)_{;\beta} \end{split} \end{equation}$

En GR no tienes $\Phi$ , por lo que este término simplemente tiende a cero gracias al Teorema de Gauss. Ahora necesitas integrar por partes dos veces. La segunda integración por partes proviene de la expresión explícita de $\delta \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ . Para simplificar, vaya a un marco de inercia local, donde:

d Γ_{m v}^{β} = \frac{1}{2} {gramo}^{ρ β} [(\partial_{v} d {gramo}_{ρ m}) + (\partial_{m} d {gramo}_{ρ v}) - (\partial_{ρ} d {gramo}_{v m})]

$\begin{equation} \delta \Gamma^{\beta}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\beta}[ \left(\partial_\nu \delta g_{\rho\mu}\right)+\left(\partial_\mu \delta g_{\rho\nu} \right)-\left(\partial_\rho \delta g_{\nu\mu} \right) ] \end{equation}$

Al final ir a un marco general, por lo que $\partial \rightarrow \nabla$ . Estos son todos los pasos difíciles, hay algunos cálculos simples que se deben hacer en el medio.

¿Cómo obtener las ecuaciones de campo en la teoría de Brans-Dicke a partir de la acción?

DHA

Andrés

Andrés

DHA

Andrés

Trimok

Trimok

prahar

Respuestas (3)

jamals

maha

Brandon Enright

maha

rexciro

El teorema de Stoke en la acción de Einstein-Hilbert

Dos observadores de Robertson-Walker, ¿a qué hora se recibirá una señal luminosa?

Aplicabilidad de la métrica dependiente del tiempo para el universo en expansión

¿Mi masa realmente afecta a los objetos del otro lado del universo?

Ecuaciones geodésicas a través del principio variacional

Tensor de matanza de la métrica de Friedman-Robertson-Walker

Volumen de un Universo con k=+1k=+1k=+1

Principio cosmológico en las ecuaciones de campo de Einstein

¿Qué modelos f(R)f(R)f(R) superan la mayoría de las restricciones conocidas? [cerrado]

¿La relatividad general implica singularidades si hay una constante cosmológica positiva?