¿Un reloj que oscila en un agujero sin fricción a través del centro de un planeta funciona más lento que un reloj estacionario en la superficie?

Hay dos efectos que provocan la dilatación del tiempo:

1. la velocidad del reloj que cae

2. la dilatación del tiempo gravitacional

El argumento implícito en su pregunta es que estos dos efectos podrían cancelarse para hacer que el reloj que cae funcione a la misma velocidad que un reloj en la superficie.

En realidad, calcular la dilatación del tiempo es un problema difícil, ya que requiere resolver la ecuación geodésica para la métrica interior de Schwarzschild. Incluso eso es solo una aproximación porque la métrica interior de Schwarzschild solo se aplica a una esfera de densidad uniforme, mientras que la Tierra no es ni una esfera ni una densidad uniforme. En la práctica, el cálculo tendría que hacerse numéricamente.

Sin embargo, podemos responder a su pregunta muy fácilmente porque ambos efectos$1$y$2$hacer que el reloj que cae funcione más lentamente, por lo que, en general, el reloj que cae debe funcionar más lentamente que el reloj en la superficie.

Es tentador pensar que debido a que la aceleración gravitatoria cae a cero a medida que nos acercamos al centro de la Tierra, la dilatación del tiempo también debe caer a cero. Sin embargo, la dilatación del tiempo depende del potencial gravitacional, no de la aceleración gravitacional. En una primera aproximación, la dilatación del tiempo viene dada por la expresión de campo débil:

$$\frac{dt_{falling}}{dt_{surface}} = \sqrt{1 + \frac{2\Delta\Phi}{c^2}} \tag{1}$$

dónde$\Delta\Phi$es la diferencia entre el potencial gravitacional del reloj que cae y el potencial gravitatorio del reloj en la superficie. Obviamente, la energía potencial disminuye a medida que descendemos hacia el centro, por lo que las cosas caen hacia abajo. Eso significa$\Delta\Phi \le 0$, y por lo tanto el lado derecho de la ecuación (1) debe ser menor que uno:

$$\frac{dt_{falling}}{dt_{surface}} \le 1$$

En otras palabras, la dilatación del tiempo es mayor, no menor, a medida que descendemos a la Tierra. Entonces, el reloj que cae debe funcionar más lentamente que un reloj en la superficie.

Los detalles:

Como Ira pregunta sobre los detalles, aquí están: los no iniciados pueden desear huir gritando.

Comencemos mirando un reloj en movimiento en un espacio-tiempo plano, es decir, sin gravedad. Comenzaremos con esto porque es más simple, luego ampliaremos el cálculo para incluir la gravedad. En el espacio-tiempo plano la métrica es la métrica de Minkowski:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$$

La cantidad$\tau$es el tiempo en el marco de reposo del reloj, mientras que$t$es el tiempo medido en nuestro marco mientras miramos el reloj. Asimismo$x$,$y$y$z$son las coordenadas espaciales del reloj en nuestro marco. La métrica nos dice que si observamos que el reloj se mueve una distancia infinitesimal a través del espacio-tiempo de$(dt, dx, dy, dz)$luego la métrica nos dice cómo calcular el tiempo transcurrido correspondiente$d\tau$para el reloj

En este caso el reloj se mueve radialmente, entonces tomaremos el$x$eje para ser el$r$eje y no hay movimiento en el$y$y$z$hachas Nuestra ecuación (2) se simplifica a:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dr^2 \tag{3}$$

En nuestro marco, la velocidad del reloj es simplemente$v = dr/dt$entonces$dr = vdt$. Si sustituimos esto en la ecuación (3) obtenemos:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - v^2dt^2$$

y un reordenamiento rápido da:

$$d\tau = dt \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}$$

Dónde$\gamma$es el factor de Lorentz . Deberías reconocer inmediatamente esto como la fórmula habitual para la dilatación del tiempo en la relatividad especial. Porque el factor de Lorentz$\gamma \gt 1$encontramos la hora del reloj$d\tau$es menos que nuestro tiempo$dt$es decir, el reloj en movimiento va lento. Hasta ahora, todo bien.

Donde las cosas se ponen difíciles es que la curvatura del espacio-tiempo causada por la masa de la Tierra también afecta la dilatación del tiempo, y lo hace cambiando la métrica, es decir, la ecuación (2) anterior. Si aproximamos la Tierra por una esfera de densidad uniforme, entonces la geometría del espacio-tiempo dentro de la Tierra viene dada por la métrica interior de Schwarzschild:

$$c^2d\tau^2 = \left[\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right]^2c^2dt^2 - \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2Mr^2}{R^3}\right)} - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2)$$

Para movimiento radial$d\theta = d\phi = 0$, y como antes la velocidad radial es$v(r) = dr/dt$entonces$dr = v(r)dt$, donde la velocidad$v(r)$ahora es una función de$r$. Haciendo estas sustituciones y reorganizando da:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{2M}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{2Mr^2}{R^3}}\right)^2 - \frac{v^2(r)}{c^2}\frac{1}{\left(1-\frac{2Mr^2}{R^3}\right)}}$$

Y esta es la ecuación que pediste, es decir, la ecuación para el factor de dilatación del tiempo.$d\tau/dt$, aunque tenga en cuenta que esta ecuación da la marcación del tiempo en relación con un observador en el infinito, no en la superficie de la Tierra.

Tenga en cuenta que el lado derecho contiene ambos$r$y la función para la velocidad$v(r)$. Esta función$v(r)$es la velocidad del reloj cuando cae a través de la Tierra, y para calcularla con precisión sería necesario resolver la ecuación geodésica. Sin embargo, dado que la dilatación del tiempo sería pequeña, sería una buena aproximación usar el$v(r)$calculado utilizando la mecánica newtoniana. Dejo esto como ejercicio para el lector.

Para obtener la dilatación del tiempo para un reloj estacionario simplemente ajuste$v(r) = 0$.

Supongamos que se deja caer un reloj en un agujero sin fricción a través del centro de un planeta simétrico que no gira, lejos de cualquier otro objeto masivo. Claramente, el reloj oscila de un extremo al otro del agujero para siempre,

Esperaría que la amplitud de oscilación disminuyera gradualmente; pero quizás sólo muy gradualmente, en comparación con el período de oscilación (inicial).

como está sujeto a la dilatación del tiempo debido a la velocidad y aceleración relativas, funciona más lentamente que un reloj estacionario en el centro del planeta.

Eso es incorrecto. No: Para comparar duraciones$\Delta \tau$de (estos) dos relojes entre sí debemos dar cuenta de sus relaciones geométricas (velocidad relativa, aceleraciones,...) mientras estuvieron separados el uno del otro.

Pero para comparar tasas$\frac{\Delta t}{\Delta \tau}$entre relojes, como para determinar cuál había " corrido más lento " y cuál había " corrido más rápido ", o si ambos habían " corrido igual de rápido " en una prueba en consideración, también tendríamos que saber y tener en cuenta como las lecturas$t$fueron asignados a cualquiera de los dos relojes.

En cambio, lo que se puede decir es que la duración del reloj que cae y oscila desde que se encuentra con la superficie del planeta una vez hasta que se encuentra con la superficie del planeta la próxima vez es mayor que la duración (correspondiente) de un reloj estacionario en la superficie del planeta desde que se encuentra con la superficie del planeta. el reloj oscilante una vez hasta haber encontrado el reloj oscilante la próxima vez. (Nuevamente: esto por sí solo no permite ninguna conclusión sobre una comparación de sus " tasas de ejecución " porque no sabemos cómo los valores (lecturas)$t$se asignan a las indicaciones de encuentro descritas de un reloj u otro.)

En cambio, mirando un reloj estacionario en el centro del planeta, esperaría que sus duraciones desde que el reloj oscilante pasó una vez hasta que el reloj oscilante lo pasara nuevamente sea igual a las duraciones (correspondientes) del reloj oscilante desde habiendo pasado por el (reloj en el) centro del planeta una vez hasta haber pasado por el (reloj en el) centro del planeta nuevamente. (Nuevamente: esto por sí solo no permite ninguna conclusión sobre una comparación de sus " tasas de ejecución " porque no sabemos cómo los valores (lecturas)$t$se asignan a las indicaciones de encuentro descritas de un reloj u otro.)