¿Cómo decidimos si un orbital electrónico tiene una probabilidad cero o distinta de cero de estar dentro del núcleo de un átomo de hidrógeno?

En este enlace verás las funciones de onda radiales del hidrógeno. Solo los estados l=0, estados S, tienen un valor diferente de cero en r=0 .

Los otros estados de momento angular obtienen una contribución muy pequeña a las probabilidades de r>0 a r=1 fermi (el radio cargado del protón) ya que 1 fermi es del orden de 10^-15 metros, y la probabilidad es el cuadrado de la onda función.

No sucede nada cuando se superponen, debido a consideraciones de energía: no hay nivel de energía dentro del protón que permita una transición a un estado diferente y el neutrón es mucho más pesado que el protón. De todos modos, para llegar allí se necesitará la interacción débil, por lo que la captura de electrones en los núcleos donde la energía lo permite es muy pequeña.

Se calcula la probabilidad de que el electrón esté dentro del núcleo integrando$\psi^*\psi$sobre el volumen del núcleo.

Por ejemplo, la parte radial de la función de onda del estado fundamental del hidrógeno es$\psi=\frac{e^{-\frac{r}{a_0}}}{\sqrt{\pi a_0^3}}$,

entonces la integral es$\frac{1}{\pi a_0^3}\int_0^b e^{-2r/a_0} 4\pi r^2 dr$.

En lo anterior,$a_0$es el radio de Bohr y$b$es el radio del protón. La integral es bastante fácil, pero hay un truco que te puede gustar. Dado que el radio del protón es tan pequeño (~1 fm) en comparación con el radio de Bohr (~53000 fm), el término exponencial es prácticamente una constante ($\approx 1$) sobre todo el núcleo, ¡así que ignóralo! En esta aproximación, la integral se evalúa como$\frac{4b^3}{3a_0^3}$, que es una probabilidad bastante pequeña, pero ¿realmente no es cero?

Una forma de ver una probabilidad es con qué frecuencia ocurre el evento. Si pudiéramos realizar un experimento para localizar el electrón una vez cada segundo, lo encontraríamos dentro del núcleo una vez cada 5 millones de años más o menos. Por lo tanto, es seguro decir que tú o yo nunca veremos que suceda, por lo que la probabilidad es cero para todos los propósitos prácticos .