¿Por qué parece que la dependencia de la diferencia de potencial de la capacitancia y la energía total almacenada en un capacitor de placas paralelas son contradictorias?

Question

¿Por qué parece que la dependencia de la diferencia de potencial de la capacitancia y la energía total almacenada en un capacitor de placas paralelas son contradictorias?

Andrés

Considere un capacitor de placas paralelas. La carga se almacena físicamente en electrodos ("placas") que son planas y paralelas entre sí. Si un electrodo tiene carga $+Q$ y el otro electrodo tiene carga $-Q$ , y $V$ es la diferencia de potencial entre los electrodos, entonces la capacitancia $C$ es

C = \frac{q}{V}

$C = \frac{Q}{V}$

(Esta definición de $C$ se da, por ejemplo, en Introducción a la electrodinámica de David J. Griffiths).

Pero, ahora, pensemos en la energía almacenada en el campo eléctrico entre los electrodos de este capacitor de placas paralelas. Como se indica en Griffiths en la página 105, "¿Cuánto trabajo $W$ ¿Se tarda en cargar el condensador hasta una cantidad final? $Q$ ?" Resulta que $W$ es

W = \frac{1}{2} C V^{2}

$W = \frac{1}{2} CV^2$

Entonces:

(i) la capacitancia del capacitor $C$ va como $\frac{1}{V}$ ; y

(ii) la energía $W$ almacenado en el campo eléctrico va como $V^2$ .

¿Están los enunciados (i) y (ii) en desacuerdo entre sí? Estoy seguro de que no pueden ser. Pero conceptualmente estoy teniendo dificultades.

Deseamos una alta capacitancia, queremos poner tanta carga en los electrodos como sea posible, porque si logramos esto, creo que aumentará la densidad de energía del sistema. ¿Pero es cierto lo que acabo de decir?

Si conseguimos aumentar $Q$ , entonces por $V = \frac{Q}{C}$ , la diferencia de potencial $V$ entre las placas también aumentará. Creo que esta es la razón por la que los electrodos de los capacitores están separados por un material (como un material dieléctrico polarizable como una losa de plástico); de lo contrario $V$ será demasiado grande y se alcanzará el voltaje de ruptura, generando una chispa.

Pero, ahora, la ecuación $W = \frac{1}{2} CV^2$ (donde creo que $W$ puede conceptualizarse como la energía almacenada en el campo eléctrico entre los electrodos) parece decir que como $V$ aumenta, también lo hace la energía $W$ , cuadráticamente.

Entonces, mi pregunta es, ¿queremos que un capacitor tenga una gran diferencia de potencial? $V$ o una pequeña diferencia de potencial $V$ ? Si $V$ es grande entonces $W$ es grande (lo que queremos), pero $C$ es pequeño (que no queremos ).

¿De alguna manera estoy pensando en dos diferencias de potencial diferentes? $V$ y confundirlos?

Siyuán Ren

De alguna manera piensas que

C

$C$ depende de

V

$V$ . no lo es

Respuestas (4)

¿Por qué parece que la dependencia de la diferencia de potencial de la capacitancia y la energía total almacenada en un capacitor de placas paralelas son contradictorias?

terminador de ratones · Answer 1

Primero: ¡la energía W no aumenta exponencialmente sino que aumenta cuadráticamente!

Segundo:

¿Qué deseas?

¡Densidad de energia!

Entonces, para obtener una buena densidad de alta energía, necesita una C alta porque puede (como ya dijo) solo ir a una cierta cantidad de voltaje hasta que se produzca una falla. El problema es que C no cambia fácilmente. Si toma una placa simple - Capacitor de placa $C \propto \frac{A}{d}$ donde A es el Área de las placas y d la distancia entre ellas. Cuanto menor es la distancia, mayor es el campo eléctrico entre las placas en relación con el voltaje ( $|\vec E| \propto \frac{U}{d}$ ) más rápido obtienes una chispa. Entonces, lo único que puede aumentar de manera segura es el área. Eso, por supuesto, aumenta el peso/tamaño de su condensador, lo que reduce la densidad de energía. Esto generalmente se aplica a todos los condensadores.

Wikipedia tiene un excelente artículo sobre capacitores:

http://en.wikipedia.org/wiki/Condensador

Tercero:

Sobre la capacitancia:

Un resorte es un muy buen análogo a su problema:

Un resorte newtoniano tiene cierta flexibilidad, que describe la fuerza que tienes para tirar de él en relación con la expansión del resorte:

$F=k \times x$

Donde F es la Fuerza k es la flexibilidad y x el camino. Entonces, la capacitancia es realmente k en este análogo. Pero F no es la Energía W.

$E = \int_0 ^x F(x) dx$

Entonces, cuanto más tiras, más difícil es tirar porque la fuerza del resorte aumenta. Entonces, para obtener la energía, no puedes simplemente calcular $E = F \times x$ pero más bien hay que integrar el camino.

Eso por supuesto te lleva a

$E = \frac{1}{2} k x^2$

De vuelta al condensador:

Cuantos más electrones le pongas, más fuerte se vuelve el campo eléctrico entre las placas del capacitor. Así que tienes que aumentar el voltaje. La capacitancia solo te dice qué tan alto debe ser tu voltaje (qué tan fuerte tienes que empujar) para poner más electrones en la placa.

¡Gracias! Aún así, sin embargo, ¿queremos grandes $V$ o pequeño $V$ ? Mi dificultad sigue siendo que "¿Qué quieres? ¡Densidad de energía!" parece implicar que queremos tanto grandes $C$ y grande $W$ . Ambos $C$ y $W$ depender de $V$ , pero de formas muy diferentes: $\propto \frac{1}{V}$ versus $\propto V^2$ , y todavía encuentro esto confuso.
piensa en lo que puedes cambiar! C no solo depende de V, también depende de Q. No puede disminuir el voltaje en un mismo capacitor sin cambiar Q también. Piensa en disminuir la fuerza de un resorte sin cambiar su expansión. Necesitarías otro resorte.

Mononucleosis infecciosa · Answer 2

Como resumen de lo que ya han dicho otras respuestas, en esencia:

La capacitancia es función de la geometría del capacitor (directamente proporcional al área de superposición de las placas e inversamente proporcional a su separación) y de la permitividad relativa del dieléctrico empleado. Una vez que se han fijado estos parámetros constructivos, su capacitancia se define de manera única y, por lo tanto, es constante cuando el capacitor se carga y descarga (suponiendo una respuesta lineal, ya que es la norma en los circuitos estándar).
La relación entre el voltaje entre las placas del capacitor, la carga acumulada y su capacitancia es solo la definición de esta última. Que la capacitancia es una propiedad del sistema que es función únicamente de la geometría y de la permitividad del dieléctrico, es un hecho que se deduce de esta definición.
Entonces, una vez que haya tomado una capacitancia (al fijar los parámetros involucrados como se explicó anteriormente), la maximización de la energía almacenada en el campo eléctrico generado se reduce a aumentar el voltaje entre las placas tanto como sea posible. Sin embargo, aumentar la fuerza del campo eléctrico tiene un límite (la fuerza dieléctrica ), que corresponde a la tensión de ruptura del dieléctrico, por lo que es la tensión máxima segura y técnicamente alcanzable. Entonces:

$W_{max}=\displaystyle\frac{1}{2}CV^{2}_{max}\ ;\\V_{max}=E_{max}\cdot d\ ;\\ C=\displaystyle\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\frac{A}{d}\Longrightarrow W_{max}=\displaystyle\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E_{max}^{2}\cdot A\cdot d=\displaystyle\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E_{max}^{2}\cdot Vol_{\ dielectric}$

Corolario:

La cantidad de energía almacenada en un capacitor completamente cargado está relacionada oblicuamente con su capacitancia. Sin embargo, aunque la energía del campo eléctrico es directamente proporcional al volumen de dieléctrico entre las placas (el producto del área de las placas por su separación), para una cantidad dada de material dieléctrico, la geometría preferida implica un área grande y como mínima separación posible, porque esa disposición permite diseños más compactos. Es por eso que mayores capacitancias conducen a mayores densidades de energía en aplicaciones prácticas.

larry harson · Answer 3

larry harson

La capacitancia depende de la geometría de los conductores que sostienen la carga. Para maximizar la energía almacenada, maximiza la capacitancia cambiando la geometría de los conductores y maximiza V transfiriendo la mayor cantidad de carga posible.

Andrés

¡Gracias! Entiendo que necesitamos "maximizar la capacitancia", ya que la energía total

W

$W$ almacenada es proporcional a la capacitancia

C

$C$ , por

W = \frac{1}{2} C V^{2}

$W = \frac{1}{2} CV^2$ . Pero no entiendo por qué necesitamos "maximizar

V

$V$ " si

C = \frac{Q}{V}

$C = \frac{Q}{V}$ , donde aumenta

V

$V$ provoca una disminución de

C

$C$ .

dmckee --- gatito ex-moderador

@Andrew No entiendes el uso de

C = Q / V

$C = Q/V$ . Esa es una receta sobre cómo medir la capacitancia. Una vez que haya elegido una geometría, la capacitancia no cambia . Nuevamente, la capacitancia es una función de la geometría y los materiales elegidos. No es una función del potencial porque la carga Q y el potencial V están ligados entre sí.

alfredo centauro · Answer 4

Entonces, mi pregunta es, ¿queremos que un capacitor tenga una gran diferencia de potencial V o una pequeña diferencia de potencial V?

No, esta no es una buena pregunta, me temo porque, en general, no pensamos en los condensadores de esta manera. En términos generales, el parámetro importante es el valor de la capacitancia y este valor está determinado por varias ecuaciones de diseño. Queremos que el capacitor tenga un valor particular de capacitancia que puede ser muy pequeño, muy grande o cualquier punto intermedio.

Ahora, en el contexto limitado de las aplicaciones de almacenamiento de energía , por ejemplo, los condensadores de reserva en los grandes amplificadores de potencia de audio, simplemente queremos una gran capacitancia . La energía almacenada en los capacitores alimenta al amplificador la mayor parte del tiempo; los condensadores se cargan rápidamente en los picos de CA. El voltaje a través de estos condensadores lo establece el transformador de potencia de CA y el rectificador. Simplemente debemos asegurarnos de que los capacitores que usamos estén clasificados para ese voltaje o más.

¿Por qué parece que la dependencia de la diferencia de potencial de la capacitancia y la energía total almacenada en un capacitor de placas paralelas son contradictorias?

Andrés

Siyuán Ren

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larry harson

Andrés

dmckee --- gatito ex-moderador

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