Distribución de carga en un condensador de placas paralelas

Ignore las superficies internas y externas. Solo hay una superficie.

Imagine un solo plano infinito con alguna densidad de carga positiva. Puede mostrar fácilmente que habría un campo eléctrico de fuerza constante* , perpendicularmente fuera del plano hasta el infinito en ambas direcciones.

Ahora imagine una única placa infinita con la misma densidad de carga negativa. Habría un campo eléctrico de fuerza constante perpendicularmente en el plano hasta el infinito en ambas direcciones.

Coloque estas dos placas una encima de la otra, y estos campos se cancelan perfectamente.

Ponga estas dos placas en paralelo, y debido a que el campo es de fuerza constante, se cancelará perfectamente en todas partes excepto entre las dos placas , donde las direcciones del campo eléctrico son las mismas y se agregará para ser el doble de fuerte.

[*Por fuerza constante quiero decir que el campo eléctrico es igual de fuerte sin importar qué tan lejos estés de la placa. ¿Por qué el campo es de fuerza constante? Porque las líneas de campo nunca pueden divergir unas de otras. La forma en que los campos generalmente se debilitan es la superficie equipotencial a la que las líneas de campo son normales y se hace más grande a medida que aumenta la distancia desde el objeto. Entonces, la misma cantidad de líneas de campo que perforan una superficie más grande significa que las líneas de campo están más dispersas y, por lo tanto, un campo más débil. En este caso, sin embargo, las superficies equipotenciales son siempre un par de infinitos planos paralelos, sin importar a qué distancia estemos del plano cargado. Sin propagación significa que no hay cambio en la intensidad del campo.]

Se podría abordar el problema teniendo cuidado con la forma en que se construye una interpretación matemática del sistema físico. Trataré el caso más simple: trataré las superficies de los capacitores de placas paralelas como verdaderas superficies bidimensionales. En este caso no hay carga superficial interna o externa, solo una densidad de carga superficial definida en cada superficie.

Matemáticamente se podría representar cada conductor como un plano infinito, digamos$S_\pm \subset \mathbb{R}^3$, entonces hay dos densidades de carga superficial$\sigma_\pm$cada uno definido en la superficie correspondiente$S_\pm$. Alternativamente, uno puede usar el lenguaje de las distribuciones y usar una distribución de carga (volumen) definida en todos los$\mathbb{R}^3$tal que$\rho(x, y, z) = \sigma_+ \delta(z - d/2) + \sigma_+ \delta(z + d/2)$donde he puesto$S_\pm$en los aviones$z = \pm d/2$.

Los modelos más complicados podrían suponer que cada placa del conductor tiene un grosor finito. Entonces se podría resolver el problema más complicado y calcular lo que sucede en los límites cuando el espesor se aproxima a cero.

Primero, un problema: si los potenciales en las dos placas no son cero, no están conectados a tierra, por definición.

En segundo lugar, la forma en que lo pienso: en la región de interés por encima y por debajo de las placas, las condiciones de contorno no están establecidas. Para establecer estas condiciones de contorno, podría imaginar agregar dos placas conductoras infinitas adicionales por encima y por debajo de las placas originales, y conectar a tierra estas nuevas placas a potencial 0.

• Si las placas nuevas se ubican inicialmente cerca de las placas originales, de hecho habrá un campo eléctrico por encima y por debajo de las placas originales, y una densidad de carga superficial correspondiente en sus superficies exteriores.
• Ahora imagine que las placas nuevas se eliminan hasta el infinito. Dado que las diferencias de potencial son fijas, el campo eléctrico y las densidades de carga de la superficie exterior llegan a cero.