Átomo alcalino en campo electromagnético oscilante

Estoy tratando de calcular la interacción átomo - luz (campo EM) hamiltoniana, y los resultados que obtengo me parecen bastante poco físicos: obtengo algunos elementos de matriz distintos de cero que no deberían estar allí. Por favor, ¿pueden ayudarme señalando errores en mi cálculo / dando consejos?

Así es como obtengo los elementos de la matriz del átomo: la interacción de la luz hamiltoniana:

La interacción átomo - luz se trata de forma semiclásica. La convención de polarización de la luz se adopta del libro " Átomos polarizados ópticamente. Comprensión de las interacciones entre la luz y el átomo " de Auzinsh, Budker y Rochester. En breve,$\pi$polarización = vector de campo eléctrico oscila a lo largo del eje z ;$\sigma^\pm$corresponden al vector de campo eléctrico que gira en el plano xy mientras la luz se propaga en la dirección positiva del eje z : para$\sigma^+$campo eléctrico gira en sentido antihorario visto desde la dirección positiva del eje z , mientras que para$\sigma^-$campo eléctrico gira en el sentido de las agujas del reloj.

Los vectores se describen usando sus componentes en la base esférica (ver sec. 3.1.2 del libro de Auzinsh et al.). Los vectores de base covariante están relacionados con la base cartesiana.$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$de la siguiente manera (Auzinsh et al. eqn. 3.8ac):

$\hat{\epsilon}_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \hat{x} + i\hat{y}\right)\\ \hat{\epsilon}_0=\hat{z}\\ \hat{\epsilon}_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \hat{x} - i\hat{y}\right)$

Componentes de un vector$\mathbf{v}$en esta base hay cantidades contravariantes (Auzinsh et al. eqn. 3.16ac):

$v^1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left( v_x - iv_y\right)\\ v^0=v_z\\ v^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( v_x + iv_y\right)$

Producto escalar vectorial en base esférica:$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\sum_{q=-1}^{1}{a_q b^q}$.

Relación entre los componentes de$\mathbf{v}$y$\mathbf{v}^*$(vector conjugado) es (Auzinsh et al. eqns D.36, D.41):

$\left(v^*\right)^q=\left(-1\right)^q\left(v^{-q}\right)^*$

Para simplificar, modele un átomo como un sistema de dos niveles, con momentos angulares electrónicos totales de ambos niveles.$J_g=J_e=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, cada nivel de energía se compone de dos estados cuánticos degenerados$m_J=\pm\frac{1}{2}$. En tal sistema$\pi$(linealmente) la luz polarizada induce tanto$\Delta m_{J} = 0$transiciones Sin embargo, las polarizaciones circulares deberían inducir solo una transición cada una:$|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$para$\sigma^+$polarización y$|g,m_J=\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$para$\sigma^-$polarización.

La parte eléctrica de la luz es (despreciando la variación espacial):

$\mathbf{E}=\frac{E_0}{2}\left(\mathbf{v}e^{-i\omega t}+\mathbf{v}^*e^{i\omega t}\right)$

Aquí$E_0$es la amplitud del campo,$\mathbf{v}$es vector de polarización,$\omega$es la frecuencia angular.

Ahora, la energía de un dipolo eléctrico en campo eléctrico es:

$\hat{H}=\hat{\mathbf{d}}\cdot\mathbf{E}$

Aquí$\hat{\mathbf{d}} = -e\hat{\mathbf{r}}$.

$\hat{H}=\sum_{q}\hat{d}_q E^q = \frac{E_0}{2}\sum_{q}\hat{d}_q \left(v^qe^{-i\omega t}+\left(v^*\right)^qe^{i\omega t}\right)$

Al calcular los elementos de la matriz, los valores de$\hat{d}_q$se obtienen usando el teorema de Wigner-Eckart (libro de Auzinsh et al., ecuación 3.121):

$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{d}_q|\eta,m_J\rangle = \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right)$

Aquí$\langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle$es elemento de matriz de dipolo reducido, y$\left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right)$es el símbolo Wigner 3-j. Por tanto, los elementos de la matriz del hamiltoniano son:$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{H}|\eta,m_J\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \sum_{q} \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & q & m_J \end{array} \right) \left(v^qe^{-i\omega t}+\left(v^*\right)^qe^{i\omega t}\right)$

Ahora considere el átomo interactuando con$\sigma^+$luz polarizada En la base esférica, los componentes del vector de polarización son:$v^1=1,v^0=0,v^{-1}=0$, y los componentes de su vector conjugado son:$\left(v^*\right)^1=0,\left(v^*\right)^0=0,\left(v^*\right)^{-1}=-1$. Los elementos de la matriz de la interacción hamiltoniana son:

$\langle\eta^\prime,m_J^\prime|\hat{H}_{\sigma^+}|\eta,m_J\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{J^\prime-m_J^\prime} \left[ \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & 1 & m_J \end{array} \right) e^{-i\omega t} - \left( \begin{array}{ccc} J^\prime & 1 & J \\ -m_J^\prime & -1 & m_J \end{array} \right) e^{i\omega t}\right]$

para la transición$|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$Todo parece estar en orden. Valores distintos de cero del elemento de matriz$\langle g,m_J=-\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|e,m_J=\frac{1}{2}\rangle$y su transpuesta conjugada$\langle e,m_J=\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|g,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$son proporcionados por términos que contienen$e^{i \omega t}$y$e^{-i \omega t}$respectivamente.

Sin embargo, los elementos de la matriz distintos de cero correspondientes a la transición$|g,m_J=\frac{1}{2}\rangle \leftrightarrow |e,m_J=-\frac{1}{2}\rangle$aparecer en el hamiltoniano también!

$\langle g,\frac{1}{2}|\hat{H}_{\sigma^+}|e,-\frac{1}{2}\rangle = \frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left(-1\right)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \left[ \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right) e^{-i\omega t} -\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{1}{2} \end{array} \right) e^{i\omega t}\right]=\\ =-\frac{E_0}{2} \langle\eta^\prime\parallel d\parallel\eta\rangle \left[ -\frac{1}{\sqrt{3}} e^{-i\omega t} -0 e^{i\omega t}\right] \neq 0$

que no debería ser el caso! Actualmente, la única "solución" que se me ocurre es tratar el campo de luz mecánicamente cuánticamente; en ese caso, los operadores de creación/aniquilación de fotones se encargarán de estos elementos de matriz. Sin embargo, me gustaría tratar mi problema de forma semiclásica.

Editar: Hoy tuve la oportunidad de hacerle esta pregunta a un profesor invitado de la Universidad Estatal de San Petersburgo. Me convenció de que no hay error en mi cálculo. Los elementos de la matriz que me preocupaban son en realidad los términos de contrarrotación (frecuencia negativa) . La aplicación de la aproximación de onda giratoria permite deshacerse de ellos. Consulte la respuesta de emarti para obtener una explicación más detallada.