Pregunta sobre la derivación del método Faddeev-Popov

En el libro de texto de Weinberg, hay una prueba para mostrar que la integral de trayectoria es independiente del funcional de fijación de calibre.$f_a[\phi; x]$.$\phi_\Lambda$es el resultado de la transformación de gauge en$\phi$por un calibre arbitrario$\Lambda^a(x)$, entonces

$$\begin{equation} I = \int \left [\prod_{n,x} d\phi_{\Lambda,n}(x)\right] G[\phi_\Lambda]B[f[\phi_\Lambda]]\ \mathrm{Det}\, F[\phi_\Lambda]\tag1 \end{equation}$$ Después de unos pocos pasos nos encontramos con la matriz, cuyo determinante nos interesa.

$$\begin{equation} F_{xa,yb}[\phi_\Lambda] = \left. \frac{\delta f_a[\phi_\Lambda;x]}{\delta \lambda^b(y)} \right\rvert_{\lambda=0} \tag2 \end{equation}$$

Dado que las transformaciones de calibre forman un grupo, la transformación de calibre con$\Lambda^a(x)$seguido por$\lambda^a(x)$es una sola transformación$\tilde \Lambda^a(x)$, es decir$(\phi_\Lambda)_\lambda = \phi_{\tilde \Lambda(\Lambda, \lambda)}$. Usando la regla de la cadena,

$$\begin{equation} F_{xa,yb}[\phi_\Lambda] = \int J_{xa, zc} [\phi, \Lambda] R^{zc}_{yb}[\Lambda] d^4z\tag3 \end{equation}$$ dónde $$\begin{align} J_{xa, zc} [\phi, \Lambda] &\equiv \left. \frac{\delta f_a[\phi_{\tilde \Lambda};x ] }{\delta \tilde \Lambda^c(z)} \right \rvert_{\tilde \Lambda=\Lambda} = \left. \frac{\delta f_a[\phi_\Lambda;x]}{\delta \lambda^c(z)} \right\rvert_{\lambda=0} \tag4\\ R^{zc}_{yb} &\equiv \left. \frac{\delta \tilde \Lambda_c[z; \Lambda , \lambda ]}{\delta \lambda^b(y)} \right\rvert_{\lambda=0}\tag5 \end{align}$$

Ahora no entiendo cómo (6) se sigue de (3)? ¿Qué sucede con la integral en las coordenadas del espacio-tiempo cuando tomamos determinantes en ambos lados? Si entiendo correctamente, el determinante está solo en los índices de grupo de calibre.

$$\mathrm{Det}\, F[\phi_\Lambda] = \mathrm{Det}\, J[\phi, \Lambda]\ \mathrm{Det}\, R[\Lambda] \tag6$$