Identidad integral de trayectoria

1. Sí, OP tiene razón: las conferencias utilizan la integración de la ruta gaussiana y la identidad.

   $$\det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$ en la ec. (174).

2. A continuación, las conferencias utilizan la relación de completitud.

   $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ y $${\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii}$$ en la ec. (174).

3. La traza sobreviviente en el RHS de la última eq. (174) podría ser, por ejemplo, una traza de sabor, e indica que la traza en la ec. (iii) es solo un rastro parcial .

Sí, tienes razón: la identidad del logaritmo determinante se ha utilizado anteriormente. En cuanto a la exponencial, se ha utilizado lo siguiente (del libro Field Quantization de Greiner, Reinhardt, capítulo 11, página no. 353):
$\int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}}$

La prueba de lo anterior también se da allí. El$2\pi$Lo más probable es que ya estén absorbidos en la constante que los acompaña. La expresión dada en su pregunta es (muy probablemente) una acción integral en el formalismo de Feynman (integral de ruta) y es por eso que el$-i$está ahí - el quid del formalismo de Feynman es que la acción se puede escribir como$\exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\}$. ¡Salud!