Cálculo de la corriente a partir de la integral de trayectoria

Question

Cálculo de la corriente a partir de la integral de trayectoria

Física
integral de trayectoria
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
determinantes funcionales

artem alexandrov

me gustaria calcular $\langle\bar{\psi}\psi\rangle$ en teoría libre. Parto del siguiente funcional generador:

\begin{matrix} (1) & Z [j] = \int D [\bar{ψ}, ψ] Exp (i \int d^{d} X [\bar{ψ} (i γ \partial - metro) ψ + j \bar{ψ} ψ]) \end{matrix}

$Z[J]=\int\mathcal{D}[\bar{\psi},\,\psi]\exp\left(i\int d^dx\,[\bar{\psi}(i\gamma\partial-m)\psi+J\bar{\psi}\psi]\right)\tag{1}$ y concluir que

\begin{matrix} (2) & ⟨ \bar{ψ} ψ ⟩ = \frac{1}{Z} {\frac{\partial}{\partial j} Z [j] |}_{j = 0} = \frac{\partial}{\partial j} (en Z [j]) . \end{matrix}

$\langle\bar{\psi}\psi\rangle=\frac{1}{\mathcal{Z}}\left.\frac{\partial}{\partial J}Z[J]\right|_{J=0}=\frac{\partial}{\partial J}\left(\ln Z[J]\right).\tag{2}$ Entonces, la integral de trayectoria es gaussiana, por lo tanto

\begin{matrix} (3) & Z [j] = det (i γ \partial - metro + j) \end{matrix}

$Z[J]=\det(i\gamma\partial -m+J)\tag{3}$ y

\ln det = T r \ln

$\ln\det=\mathrm{Tr}\ln$ , dónde

T r

$\mathrm{Tr}$ es la traza sobre todos los índices. No entiendo cómo lidiar con obtener determinante funcional. si tiene la forma

det (i γ \partial - m + J) / det (i γ \partial - m)

$\det(i\gamma\partial -m +J)/\det(i\gamma\partial-m)$ , será más claro. ¿Puede ser que me equivoque en mis derivaciones?

De hecho, todavía no está claro. Puedo reescribir el resultado obtenido como

\frac{1}{2} T r en ((i γ \partial - metro + j) (- i γ \partial - metro + j)) = \frac{1}{2} T r en (\partial^{2} + {metro}^{2} + 2 metro j + j^{2}),

$\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\ln((i\gamma\partial-m+J)(-i\gamma\partial-m+J))=\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\ln(\partial^2+m^2+2mJ+J^2),$ y luego tratar de factorizar

\partial^{2} + m^{2}

$\partial^2+m^2$ , expandir

\ln (1 + smth)

$\ln(1+\text{smth})$ y calcular

T r

$\mathrm{Tr}$ en el espacio de momento. Pero parece incorrecto.

Sunyam

Pista rápida: fórmula de Jacaobi para la derivada de un determinante:

\frac{δ}{δ J (x)} \ln det [A [x, x^{'}]] = Tr [\sum_{x_{1}^{}}^{} A [x, x_{1}]_{}^{- 1} \frac{δ}{δ J (x)} A [x_{1}^{}, x^{'}]]

$\frac{\delta}{\delta J(x)}\ln\det[A[x,x']]=\textbf{Tr}[\sum_{x_{1}^{}}^{}A[x,x_{1}]_{}^{-1}\frac{\delta}{\delta J(x)}A[x_{1}^{},x']]$ .

artem alexandrov

@Sunyam, ¿puedes dar algunos detalles?

Sunyam

@ArtemAlexandrov Generalización funcional de la fórmula matriz de Jacobi .

Mad Max

Una nota al margen. Si prefiere una fuente bilocal (como en 2PI, esquema irreducible de dos partículas), un término fuente como

J (x, y) \bar{ψ (x)} ψ (y)

$J(x, y)\bar{\psi(x)}\psi(y)$ es un enfoque más general.

artem alexandrov

@MadMax, ¡gracias! Mi interés era solo

⟨ \bar{ψ} (x) ψ (x) ⟩

$\langle\bar{\psi}(x)\psi(x)\rangle$ , por lo tanto, solo uso

J \bar{ψ} ψ

$J\bar{\psi}\psi$

Respuestas (2)

Cálculo de la corriente a partir de la integral de trayectoria

Pista rápida: fórmula de Jacaobi para la derivada de un determinante: $\frac{\delta}{\delta J(x)}\ln\det[A[x,x']]=\textbf{Tr}[\sum_{x_{1}^{}}^{}A[x,x_{1}]_{}^{-1}\frac{\delta}{\delta J(x)}A[x_{1}^{},x']]$ .
@ArtemAlexandrov Generalización funcional de la fórmula matriz de Jacobi .
Una nota al margen. Si prefiere una fuente bilocal (como en 2PI, esquema irreducible de dos partículas), un término fuente como $J(x, y)\bar{\psi(x)}\psi(y)$ es un enfoque más general.
@MadMax, ¡gracias! Mi interés era solo $\langle\bar{\psi}(x)\psi(x)\rangle$ , por lo tanto, solo uso $J\bar{\psi}\psi$

mike piedra · Answer 1

Usar

d mi t (γ \partial + metro + j) = d mi t (γ \partial + metro) d mi t (1 + j (γ \partial + metro)^{- 1})

${\rm det}(\gamma \partial+m+J)= {\rm det}(\gamma \partial+m){\rm det}(1+ J(\gamma\partial +m)^{-1})$ y el propagador

S (X, X^{'}) = (γ \partial + metro)_{X, X^{'}}^{- 1} = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} {mi}^{i pag (X - X^{'})} \frac{- i γ pag + metro}{{pag}^{2} + {metro}^{2}}

$S(x,x') =(\gamma\partial +m)_{x,x'}^{-1}=\int \frac {d^dp}{(2\pi)^d} e^{ip(x-x')}\frac{-i\gamma p +m}{p^2+m^2}$

en d mi t (1 + j S) = T r en (1 + j S) = T r {\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte + 1}}{norte} (j S)^{norte}} .

$\ln {\rm det}(1+JS)={\rm Tr}\ln(1+JS)= {\rm Tr}\left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n+1}} n (JS)^n\right\}.$ para obtener (del primer término de la suma) que

⟨ \bar{ψ} (X) ψ (X) ⟩ = t r (S (X, X)) = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{metro}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} .

$\langle\bar\psi(x)\psi(x)\rangle= {\rm tr} (S(x,x)) =\int \frac {d^dp}{(2\pi)^d} \frac{m}{p^2+m^2}.$ He usado la firma euclidiana en todas partes, ya que no hace ninguna diferencia cuando calculas cosas independientes del tiempo.

PD: la cantidad calculada no es una "corriente". Eso sería $\langle\bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x)\rangle$

es la expansión de $\ln$ ¿correcto? parece que debe haber $(-1)^{(n+1)}$

ohneVal · Answer 2

Primero tenemos que corregir el funcional generador. Las corrientes externas son lineales en los campos,

Z [η, \bar{η}] = \int D [ψ] D [\bar{ψ}] Exp (i \int d^{4} X \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} - metro) ψ + \bar{η} ψ + \bar{ψ} η + i ε \bar{ψ} ψ),

$Z[\eta,\bar{\eta}] = \int \mathcal{D}[\psi]\mathcal{D}[\bar{\psi}]\exp\left(i\int d^4x\; \bar{\psi}(i\gamma^\mu{\partial_\mu}-m)\psi + \bar{\eta}\psi + \bar{\psi}\eta + i\varepsilon \bar{\psi}\psi \right),$ (donde el

i ε

$i\varepsilon$ proviene de las condiciones en

t \to \pm \infty

$t\rightarrow\pm\infty$ en los campos y está relacionado con la ordenación del tiempo). Luego se puede calcular la función de dos puntos en la teoría libre siguiendo la receta habitual (también incluyendo el ordenamiento temporal).

⟨ T (ψ (X) \bar{ψ} (y)) ⟩ = \frac{1}{Z [0]} \frac{d^{2} Z [η, \bar{η}]}{d \bar{η} (X) d η (y)} |_{η, \bar{η} = 0}

$\langle T\left(\psi(x)\bar{\psi}(y)\right)\rangle = \frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^2 Z[\eta,\bar{\eta}]}{\delta\bar{\eta}(x)\delta\eta(y)}\bigg|_{\eta,\bar{\eta}=0}$ Debería llegar al propagador fermiónico habitual mientras que el determinante funcional será cancelado por la normalización (que es formalmente infinita).

Sin embargo, en otros casos, como la teoría del campo efectivo de 1 bucle, obtiene determinantes funcionales en sus cálculos con frecuencia y, en general, son difíciles de calcular. Para ello existen varios métodos (véase, por ejemplo, el teorema de Gelfand-Yaglom). Probablemente la forma más útil en su caso es pensar en el determinante como el producto de los valores propios, se debe tener cuidado cuando hay valores propios cero o negativos que complicarán la integración, pero esta sería otra cuestión. Por ahora, debe tener en cuenta que los determinantes funcionales provienen de una extensión de la noción común de determinantes, pero para que tenga sentido, es posible que debamos emplear diferentes técnicas para calcular/regularizar los resultados divergentes.

Por qué no puedo presentar $J\bar{\psi}\psi$ ? Estoy interesado en el promedio de tiempo igual $\langle\bar{\psi}\psi\rangle$ .
Solo quería ser un poco más general, supongo que podría funcionar para el límite coincidente, pero aún debe tener cuidado con el pedido y el hecho de que el $\psi$ son variables Grassmanianas.

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