Estrategia de prueba - Sin el teorema de Stokes - Calcular ∬ScurlF⋅dS∬Scurl⁡F⋅dS\iint_S \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot\; d\mathbf{S} para F=yz2iF=yz2i\mathbf{F} = yz^2\mathbf{i}

$1.$Bien, primero consideramos el cono y la parametrización.$\sigma(\phi,z)=(\cos\phi,\sin\phi,z)$es una forma de parametrizar, podrías hacer$\sigma(\phi,z)=(\sin\phi,\cos\phi,z)$, esto está bien, pero está orientado en la dirección opuesta, es decir, en$2D$:

$(\cos\phi,\sin\phi)$nos da un círculo orientado en sentido antihorario.

pero$(\sin\phi,\cos\phi)$nos da un círculo orientado en el sentido de las agujas del reloj.

Entonces, cuando se trata de encontrar normales, simplemente elegimos el opuesto.

$2.$Ahora sobre el tema de por qué elegimos$\sigma_\phi\times\sigma_z$encima$\sigma_z\times\sigma_\phi$realmente es mejor pensar en esto visualmente: imagina que tienes el$x$y$y$eje, si tomas tu dedo índice como el$x$eje y su dedo medio para por el$y$eje, y luego saca el pulgar para que los tres sean ortogonales entre sí, luego el pulgar se convierte en el$z$eje. (Pienso en todo esto con mi mano izquierda) es decir$\underline{i}\times\underline{j}=\underline{k}$

Si luego cambia el orden, es decir, cambia$x$y$y$el producto cruz produce el$z$eje en sentido negativo. es decir$\underline{j}\times\underline{i}=-\underline{k}$

Las cosas se complican cuando consideramos$\phi$y$z$, porque$\color{red}{ \phi \text{ points in the direction tangent to the curved surface } }$, y apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj (ortogonal a$z$) como si estuviera mirando el cilindro a vista de pájaro (desde arriba). ¿Por qué? explico al final.

Consulte Determinar el producto cruzado con la mano izquierda frente a la mano derecha . Deja el$\phi$dirección sea su dedo índice, y el$z$el eje sea tu pulgar. el producto vectorial produce un vector en la dirección de su "dedo medio", ahora imagine que el dorso de su mano descansa junto al lado del cilindro, y se dará cuenta de que esta nueva dirección es la normal "hacia afuera".

Si cambiáramos de orientación, obtendríamos la normalidad interna.

Con respecto al cono, las respuestas$3,4$son esencialmente idénticos.

Porque si tuviéramos que cambiar la parametrización, estaríamos dando la vuelta al cono en la dirección opuesta, por lo tanto, invirtiendo la orientación.

Y nuevamente, la idea visual es la misma, ya que solo imaginamos que nuestra "mano" está adyacente a la superficie curva.

Espero haberte ayudado, pero no dudes en preguntar más.

por que$\phi$punto en la dirección tangente a la superficie curva?

Cuando consideramos un cilindro en$3D$en realidad es solo una pila infinita de círculos uno encima del otro, y parametrizamos cada círculo con$(\cos\phi,\sin\phi)$dónde$0\le\phi\le 2\pi$.

Ahora imagine que estamos directamente sobre el cono mirando hacia abajo, lo que veremos es un círculo (es decir, la imagen de la derecha), el círculo tiene un radio fijo y$\phi$es el ángulo entre el radio y una línea horizontal de color amarillo. Como$\phi$aumenta, damos la vuelta al círculo en sentido contrario a las agujas del reloj.

Imagina que estás parado en el borde del círculo, siempre a una distancia fija del centro. Luego imagina que corres a su alrededor exactamente a la misma velocidad que aumenta el ángulo.

empiezas donde$\phi=0$(en el diagrama). Imagina que estás a punto de correr, la dirección hacia la que miras es la dirección de$\phi$, y en$\phi=0$en el diagrama de la derecha, esta dirección es directamente hacia arriba. pero lo más importante es que esta dirección es tangente al círculo en ese punto, y como$\phi$aumenta, corre, ajustando su dirección en consecuencia para que la dirección en la que mire sea siempre tangente al círculo.

Ahora piensa en esto en el cilindro, si estás corriendo en una dirección tangente a uno de los círculos, eres tangente a todos los círculos (ya que están apilados uno encima del otro). Entonces, de hecho, eres tangente a la superficie curva.

Gracias a la usuaria ellya, renové el boceto de ella: