Igualdad de números complejos en general

Question

Igualdad de números complejos en general

Matemáticas
números complejos
prueba-explicación

SHW

Suponer $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ y $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$ . Pruebalo $z_1 = z_2$ $\iff$ $r_1 = r_2 , \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$ .

Mi intento: la prueba de la declaración inversa es obvia, pero no sé cómo probar la declaración directa. Traté de usar "Dos números complejos $a+bi$ y $c+di$ son iguales si $a=b$ y $c=d$ , dónde $a,b,c,d$ son números reales." pero no funcionó.

greg martin

Nótese que la afirmación es falsa cuando

z_{1} = z_{2} = 0

$z_1=z_2=0$ .

Respuestas (5)

Igualdad de números complejos en general

feng · Answer 1

Tenga en cuenta que si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)(r\ge0)$ entonces $|z|=r$ . De hecho, $|z|^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=r^2$ , entonces $|z|=r$ .

Aquí asumo $r_1,r_2>0$ . De lo contrario $z=0=0\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)$ se mantiene para cada $\theta\in\mathbb R$ , en cuyo caso el reclamo en el problema de OP es incorrecto.

$z_1=z_2$ implica que $r_1=|z_1|=|z_2|=r_2$ , entonces $\cos\theta_1=\cos\theta_2$ y $\sin\theta_1=\sin\theta_2$ , lo que significa $\theta_1=\theta_2+2k\pi$ .

@SHW He editado mi respuesta para que quede más claro. ¿Puedes seguir ahora?

elsimplefuego · Answer 2

\begin{aligned} z_{1} = z_{2} & ⟹ r_{1} porque θ_{1} + i r_{1} pecado θ_{1} = r_{2} porque θ_{2} + i r_{2} pecado θ_{2} \\ ⟹ {\begin{cases} r_{1} porque θ_{1} = r_{2} porque θ_{2} \\ r_{1} pecado θ_{1} = r_{2} pecado θ_{2} \end{cases} \\ ⟹ broncearse θ_{1} = broncearse θ_{2} (r_{1}, r_{2} > 0 \land porque θ_{1}, porque θ_{2} \neq 0^{* *}) \\ ⟹ θ_{1} = θ_{2} + k π (k \in Z) \\ ⟹ r_{2} porque θ_{2} = r_{1} porque (θ_{2} + k π) = r_{1} porque θ_{2} porque k π - r_{1} pecado θ_{2} pecado k π \\ ⟹ r_{2} porque θ_{2} = r_{1} porque θ_{2} porque k π \\ ⟹ r_{2} = r_{1} porque k π (porque θ_{2} \neq 0) \\ ⟹ r_{2} = r_{1} (porque k π = \pm 1; r_{1}, r_{2} > 0 ⟹ porque k π = 1 ⟹ k \equiv 0 (modificación 2)) \\ ⟹ r_{1} = r_{2} \land θ_{1} = θ_{2} + 2 k π (k \in Z) \end{aligned}

$\begin{align}z_1=z_2&\implies r_1\cos\theta_1+ir_1\sin\theta_1=r_2\cos\theta_2+ir_2\sin\theta_2\\&\implies\begin{cases}r_1\cos\theta_1=r_2\cos\theta_2\\r_1\sin\theta_1=r_2\sin\theta_2\end{cases}\\&\implies \tan\theta_1=\tan\theta_2\quad (r_1,r_2>0\,\land\,\cos\theta_1,\cos\theta_2\ne0 \,\,{}^{**})\\&\implies\theta_1=\theta_2+K\pi\quad(K\in\Bbb Z)\\&\implies r_2\cos\theta_2=r_1\cos(\theta_2+K\pi)=r_1\cos\theta_2\cos K\pi-r_1\sin\theta_2\sin K\pi\\&\implies r_2\cos\theta_2=r_1\cos\theta_2\cos K\pi\\&\implies r_2=r_1\cos K\pi\quad(\cos\theta_2\ne0)\\&\implies r_2=r_1\quad(\cos K\pi=\pm1;\,r_1,r_2>0\implies\cos K\pi=1\implies K\equiv0\pmod2)\\&\implies r_1=r_2\,\land\, \theta_1=\theta_2+2k\pi\quad(k\in\Bbb Z)\end{align}$

^{* *}

${}^{**}$

$\begin{aligned} porque θ_{1}, porque θ_{2} = 0 & ⟹ θ_{1}, θ_{2} = \frac{π}{2} + k π (k \in Z) \\ ⟹ pecado θ_{1}, pecado θ_{2} = \pm 1 \\ porque θ_{1}, porque θ_{2} = 0 & ⟹ r_{1} (0 + i pecado θ_{1}) = r_{2} (0 + i pecado θ_{2}) \\ ⟹ r_{1} pecado θ_{1} = r_{2} pecado θ_{2} \\ r_{1}, r_{2} > 0 & ⟹ pecado θ_{1} = pecado θ_{2} = 1 \\ ⟹ θ_{1} = θ_{2} + 2 k π (k \in Z) \end{aligned}$ $\begin{align}\cos\theta_1,\cos\theta_2=0&\implies\theta_1,\theta_2=\frac\pi2+K\pi\quad(K\in\Bbb Z)\\&\implies\sin\theta_1,\sin\theta_2=\pm1\\\cos\theta_1,\cos\theta_2=0&\implies r_1(0+i\sin\theta_1)=r_2(0+i\sin\theta_2)\\&\implies r_1\sin\theta_1=r_2\sin\theta_2\\r_1,r_2>0&\implies\sin\theta_1=\sin\theta_2=1\\&\implies\theta_1=\theta_2+2k\pi\quad(k\in\Bbb Z)\end{align}$

Me alegro de que te haya ayudado, puedes intentar hacer algo similar para $\cos\theta_1=\cos\theta_2=0$ y se deben alcanzar los mismos resultados.
Nótese que la afirmación es falsa cuando $z_1=z_2=0$ ; y, de hecho, su prueba nunca vuelve al caso que excluyó en la tercera línea. (Además, creo que este es un estilo de escritura deficiente para demostrar a un matemático nuevo: alguien que aún no resolvió la pregunta original tendrá dificultades para comprender la estructura lógica de esta cadena de símbolos matemáticos).
@GregMartin 1) Dije que $r_1,r_2>0$ para que no se diera el caso. 2) En mi comentario anterior, sugerí precisamente eso al OP, que pueden intentar hacer $\cos\theta_i=0$ utilizando un método similar.

miguel rozenberg · Answer 3

miguel rozenberg

creo que quisiste decir eso $r_i\geq0$ y $\theta_i\in\mathbb R,$ de lo contrario, su afirmación es incorrecta.

Ahora, por su trabajo obtenemos:

(r_{1} porque θ_{1})^{2} + (r_{1} pecado θ_{1})^{2} = (r_{2} porque θ_{2})^{2} + (r_{2} pecado θ_{1})^{2}

$(r_1\cos\theta_1)^2+(r_1\sin\theta_1)^2=(r_2\cos\theta_2)^2+(r_2\sin\theta_1)^2$ o

r_{1}^{2} = r_{2}^{2},

$r_1^2=r_2^2,$ lo que da

r_{1} = r_{2} .

$r_1=r_2.$ ¿Puedes terminarlo ahora?

SHW

ok y como

\cos θ_{1} = \cos θ_{2}, \sin θ_{1} = \sin θ_{2}

$\cos\theta_1=\cos\theta_2 , \sin\theta_1=\sin\theta_2$ implica

θ_{1} = θ_{2} + 2 k π

$\theta_1=\theta_2+2k\pi$ ?

miguel rozenberg

@SHW ¡Sí, por supuesto!

SHW

No sé cómo probar eso.

miguel rozenberg

@SHW D Dibuje el círculo trigonométrico y use la definición de

\sin

$\sin$ y

\cos

$\cos$ . Ver aquí: en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions

SHW

Si

\cos θ_{1} = \cos θ_{2}

$\cos\theta_1=\cos\theta_2$ entonces

θ_{1} = 2 k π \pm θ_{2}

$\theta_1 = 2k\pi \pm \theta_2$ . Si ponemos esto

\sin θ_{1} = \sin θ_{2}

$\sin\theta_1=\sin\theta_2$ entonces

\sin θ_{2} = 0

$\sin\theta_2 = 0$ y

θ_{2} = k π

$\theta_2 = k\pi$ . ¿Cuál es el error en este cálculo?

miguel rozenberg

@SHW Si

\sin θ_{1} = \sin θ_{2}

$\sin\theta_1=\sin\theta_2$ entonces

θ_{1} = θ_{2} + 2 π n,

$\theta_1=\theta_2+2\pi n,$ dónde

n \in Z

$n\in\mathbb Z$ o

θ_{1} = π - θ_{2} + 2 π n

$\theta_1=\pi-\theta_2+2\pi n$ . Desde

\cos θ_{1} = \cos θ_{2}

$\cos\theta_1=\cos\theta_2$ el segundo caso es imposible.

SHW

Está bien, pero ¿qué pasa con el caso que aplicamos?

\cos θ_{1} = \cos θ_{2}

$\cos\theta_1=\cos\theta_2$ ¿primero?

miguel rozenberg

@SHW Lo escribiste bien. El caso

θ_{1} = - θ_{1} + 2 π k

$\theta_1=-\theta_1+2\pi k$ es imposible porque

\sin θ_{1} = \sin θ_{2}

$\sin\theta_1=\sin\theta_2$ .

SHW

llegué a la conclusión de que

θ_{2} = k π

$\theta_2 = k\pi$ que no es el

θ_{1} = θ_{2} + 2 k π

$\theta_1=\theta_2+2k\pi$ .

miguel rozenberg

@SHW

θ_{2} = k π

$\theta_2=k\pi$ Está Mal. Por qué

\sin θ_{2} = 0

$\sin\theta_2=0$ ?

SHW

\sin (2 k π \pm θ_{2}) = \sin θ_{2}

$\sin(2k\pi \pm \theta_2) = \sin \theta_2$ entonces

\sin (\pm θ_{2}) = \sin θ_{2}

$\sin( \pm \theta_2) = \sin \theta_2$ y entonces

\sin θ_{2} = 0

$\sin \theta_2 = 0$ .

miguel rozenberg

¡No!

\sin (2 π l \pm θ_{2}) = \pm \sin θ_{2}

$\sin(2\pi l\pm\theta_2)=\pm\sin\theta_2$ , que dice que el caso

θ_{1} = 2 k π - θ_{2}

$\theta_1=2k\pi-\theta_2$ es imposible.

SHW

sí porque

\sin (\pm θ_{2}) = \pm \sin θ_{2}

$\sin( \pm \theta_2) = \pm\sin\theta_2$ . Primero usé

\cos θ_{1} = \cos θ_{2}

$\cos\theta_1=\cos\theta_2$ entonces

θ_{1} = 2 k π \pm θ_{2}

$\theta_1 = 2k\pi \pm \theta_2$ .

SHW

Finalmente encontré mi error. Gracias por sus respuestas

miguel rozenberg

¡De nada!

laboratorio bhattacharjee · Answer 4

Si $\cos\theta_1=\cos\theta_2$ y $\sin\theta_1=\sin\theta_2$

Uso de fórmulas de prostaféresis ,

0 = porque θ_{1} - porque θ_{2} = - 2 pecado \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} pecado \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}

$0=\cos\theta_1-\cos\theta_2=-2\sin\dfrac{\theta_1-\theta_2}2\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}2$

0 = pecado θ_{1} - pecado θ_{2} = 2 pecado \frac{θ_{1} - θ_{2}}{2} porque \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}

$0=\sin\theta_1-\sin\theta_2=2\sin\dfrac{\theta_1-\theta_2}2\cos\dfrac{\theta_1+\theta_2}2$

Si $\sin\dfrac{\theta_1-\theta_2}2=0, \dfrac{\theta_1-\theta_2}2$ debe ser múltiplo de $\pi$ y hemos terminado.

Demás $\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}2=\cos\dfrac{\theta_1+\theta_2}2=0$ que es insostenible como

{pecado}^{2} \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2} + {porque}^{2} \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2} = 1

$\sin^2\dfrac{\theta_1+\theta_2}2+\cos^2\dfrac{\theta_1+\theta_2}2=1$

JG · Answer 5

Desde $z_1^\ast z_1=z_2^\ast z_2$ , $r_1^2=r_2^2$ entonces $r_1=r_2$ . De este modo $\cos\theta+i\sin\theta_1=\cos\theta_2+i\sin\theta_2$ . Dividiendo por el número complejo unitario del lado derecho, $\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)=1$ , es decir $\cos(\theta_1-\theta_2)=1,\,\sin(\theta_1-\theta_2)=0$ . Por eso $2\pi|\theta_1-\theta_2$ .

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