Cálculo de la probabilidad de encontrar la partícula usando la notación de Dirac

Un electrón puede estar en uno de los dos pozos de potencial que están tan cerca que puede "hacer un túnel" de uno a otro. Su vector de estado se puede escribir

| ψ ⟩ = a | A ⟩ + b | B ⟩ ,

dónde | A ⟩ es el estado de estar en el primer pozo y | B ⟩ es el estado de estar en el segundo pozo y todos los kets están correctamente normalizados. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula en el primer pozo dado que:

(a) a = i / 2 ;

(b) b = mi i π ;

(C) b = 1 / 3 + i / 2 ?

Mis pensamientos: dado que todos los kets están correctamente normalizados, entonces a a ∗ + b b ∗ = 1 , entonces la probabilidad en el primer pozo está calculando | ⟨ A | a ⟩ | 2 , ¿puede usted (a) mostrarme cómo procesarlo? muchas gracias

Respuestas (1)

La probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado | A ⟩ es | ⟨ A | ψ ⟩ | 2 .

En caso de que nunca te hayas encontrado con esta expresión, ⟨ A | ψ ⟩ se llama la amplitud (probabilidad) del estado | A ⟩ y básicamente te dice "cuánto" de ese estado hay en la función de onda total ψ . Matemáticamente, es un producto interior.

El cuadrado de la amplitud de probabilidad te da la probabilidad real de que la partícula esté en ese estado particular (o mejor, de tener el valor propio asociado con ese modo propio, en este caso | A ⟩ ).

Entonces, aquí: pag ( A ) = | ⟨ A | ψ ⟩ | 2 = | a | 2 = a a ∗

entonces para (a) pag ( A ) = ( 1 / 2 ) 2 = 1 / 4 .

Entonces puedes calcular a conocimiento b de la condición de normalización, como ya has explicado. De | a | 2 + | b | 2 = 1 aislado | a | 2 .

Creo que la pregunta y la respuesta asumen que a a ∗ + b b ∗ = 1 , lo que creo que implica que | A > y | B > son ortogonales? ¿Es esta una buena suposición para hacer?
@tom Bueno, el OP definido | A ⟩ como el "estado de estar en el primer pozo" y | B ⟩ como "el estado de estar en el segundo pozo" que, en mi opinión, implica que los dos estados son mutuamente excluyentes (es decir, ortogonales).
@Geoffrey, sí, eso tiene sentido, solo me preguntaba al respecto. Tal vez debería hacer una pregunta por separado al respecto para continuar, gracias por su comentario.
el segundo obtuve 3, que es mayor que 1, ¿es raro?
@Tom: lo siento, probablemente debería haber especificado eso: simplemente asumí que eran ortogonales, ya que, como notó Geoffrey, las dos condiciones son prácticamente excluyentes entre sí.
@kengkeng: para (3), lo entiendo | b | 2 = ( 1 / 3 ) 2 + ( 1 / 2 ) 2 , entonces pag ( A ) = | a | 2 = 1 − | b | 2 = 1 − 1 / 9 + 1 / 2 ≈ 0.2812...
@kengkeng: lo siento, te referías al segundo: | b | 2 = 1 , ya que es solo un factor de fase puro (o si lo desea, mi i π = − 1 ) por lo que, para garantizar la normalización general, a necesita ser 0. La partícula está en el segundo pozo, estado | B ⟩ . Incluso de la fórmula que obtienes | a | 2 + | b | 2 = 1 con | b | 2 = 1 así que debes tener pag ( A ) = | a | 2 = 0
oh, gracias, puede que me haya equivocado en el cálculo. ¡gracias chicos!
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