Cálculo de la gravedad teniendo en cuenta el cambio de fuerza gravitatoria

Este es un problema que me ha molestado durante un par de semanas, y parece que no puedo entenderlo y entenderlo.

Digamos que tenemos un planeta con una masa de metro . También tenemos un objeto de masa relativamente pequeña (tan pequeña que su campo gravitatorio no afectaría al planeta), y sabemos que en el tiempo 0 está en la posición h .

Si conocemos la aceleración de la gravedad gramo , podemos calcular la posición y en el momento t :

y = h − gramo t 2 2 .

Y sabemos que la aceleración de la gravedad podría calcularse:

gramo = GRAMO metro y 2 .

Pero dado que la aceleración depende de la posición del objeto en relación con el planeta, y la posición del objeto depende de la aceleración, esto obviamente significaría que la primera fórmula no funcionará cuando trabajemos con un desplazamiento tan grande que cambiaría la aceleración significativamente.

Entonces, en esencia, mi pregunta es, ¿qué fórmula podemos usar para calcular la posición de un objeto, teniendo en cuenta el cambio en la aceleración debido a la gravedad?

Respuestas (3)

Creo que su paradoja resulta de la primera ecuación asumiendo una aceleración constante , que no será el caso si calcula la gravedad usando la ley del cuadrado inverso de la Gravitación Universal en lugar de simplemente asumir una g constante .

En cuanto a qué fórmula podría usar para calcular la posición de su objeto teniendo en cuenta la Gravitación Universal... digamos que los cálculos que probé no fueron demasiado bonitos.

Aquí está el problema: dado que ya no puede usar las fórmulas para la cinemática que asumen una aceleración constante, debe volver a la Segunda Ley de Newton y conectar directamente la ley de la Gravitación Universal (NOTA: en las ecuaciones a continuación llamo a la distancia entre los dos cuerpos r en lugar de y , y escribo que su "pequeña" masa tiene masa M ... ¡sin embargo, no se preocupe, ya que de hecho se cancelará!):

− GRAMO metro METRO / r 2 = METRO a r

Esto le da la siguiente ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden:

r ¨ + GRAMO metro / r 2 = 0
Wolfram Alpha encontró una solución analítica para esto, pero es engorrosa hasta el punto de la inutilidad . Así que supongo que esa es la fórmula que está buscando (menos la necesidad de incluir las constantes necesarias) ... como dije, ¡no es demasiado bonita!

Entiendo parte de lo que quieres decir, pero todavía tengo un pequeño problema para entender la parte sobre las ecuaciones diferenciales, probablemente porque eso está un poco más allá de mi conocimiento matemático. ¿Podría explicarme cómo se le ocurrió esa ecuación?
Estimado @Frxstrem, las ecuaciones diferenciales son ecuaciones para funciones enteras r ( t ) que relacionan los llamados "derivados". La ecuación con r ¨ es en realidad la forma correcta de escribir su ecuación para la aceleración. Creo que si no sabe nada de lo que son las ecuaciones diferenciales, este hilo sobre Physics SE no es el escenario adecuado para aprender esta subdisciplina bastante extensa de las matemáticas. Steven: No estoy de acuerdo con que la solución analítica al problema de Kepler, etc., sea inútil e infinitamente artificiosa; después de todo, Newton lo dominó para explicar las leyes de Kepler, el primer gran éxito de su teoría.
Permítanme decir la lección de Steven en otras palabras. La primera ecuación tuya, usando gramo t 2 , solo está bien si la aceleración gramo es constante, es decir, en el campo gravitacional "uniforme". Por ejemplo, en la superficie de la Tierra, el campo y la aceleración son aproximadamente uniformes. La precisión es tan alta que no necesitamos hablar de gramo siendo dependiente de la altura en cualquier aplicación diaria. Sin embargo, gramo depende de r y por lo tanto en t , entonces y = gramo t 2 / 2 por un fijo gramo ya no es la descripción correcta. En cambio, debe ser reemplazada por la solución de la ecuación diferencial, gramo → y ¨ .
@LubošMotl Eso tiene bastante sentido, aunque supongo que tendré que aprender ecuaciones diferenciales para comprender lo que todo esto significa realmente .
@LubošMotl: Acabo de ver su respuesta (con respecto al ejemplo de Kepler/Newton). Muchas gracias por la corrección: ¡parece que fui víctima de la falacia de confundir conveniencia matemática con utilidad!

Tiene razón en que la fórmula "normal" y = h − gramo t 2 / 2 no funciona cuando cambia la aceleración gravitacional, por lo que necesita una fórmula diferente. Sin embargo, las expresiones matemáticas son un poco feas. Steven sentó las bases para esto, pero voy a indicarle una respuesta mía anterior donde hice el cálculo . El resultado resulta ser

t F − t i = 1 2 GRAMO ( metro 1 + metro 2 ) ( r i r F ( r i − r F ) + r i 3 / 2 porque − 1 ⁡ r F r i )

r i y t i son la posición inicial (altura) y el tiempo, respectivamente, y r F y t F son los valores finales correspondientes. Esta ecuación es un poco "al revés" en el sentido de que en lugar de expresar la posición en función del tiempo, expresa el tiempo en función de la posición. Puede invertirlo para expresar la posición como una función del tiempo, pero no encontrará una sola función agradable para ello. Tendrías que hacer la inversión numéricamente, conectándolo a una computadora, o calculando una serie de potencias o algo así.

Wikipedia tiene una fórmula para la distancia que cae un objeto en una cierta cantidad de tiempo, o la inversa (tiempo que tarda en caer una distancia específica): https://en.wikipedia.org/wiki/Free_fall#Inverse-square_law_gravitational_field

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