¿Cuáles son las magnitudes de la aceleración de las bolas B y C que caen en relación con A? (Necesita ayuda con la aproximación binomial)

Question

¿Cuáles son las magnitudes de la aceleración de las bolas B y C que caen en relación con A? (Necesita ayuda con la aproximación binomial)

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Principalmente tengo un problema al incorporar la aproximación. Mi problema está hacia el final de la publicación, pero anoté todos mis pasos en caso de que cometiera un error en alguna parte.

Entonces, en esta pregunta, 3 bolas parten con velocidad cero y comienzan a caer hacia la tierra. Están alineados verticalmente, con la pelota A en el medio, la pelota B 22 m directamente sobre A y la pelota C 22 m directamente debajo de A.

La pregunta me pide que encuentre la magnitud de la aceleración de la bola B y C con respecto a A. La pregunta también dice que use la aproximación binomial porque, de lo contrario, cuando calcule numéricamente la magnitud, su calculadora no almacenará suficientes cifras sig para darle una resultado exacto.

Hasta ahora hice:

$F = ma$

La aceleración de la bola A es $\vec{a}_A = \frac{F_A}{m_A}$ , y lo mismo para las bolas B y C

La fuerza debida a la gravedad es $F_B = \frac{G M_e m_B}{r_B^2}$ dónde $M_e$ es la masa de la tierra y $r_B$ es el radio entre el centro de la tierra y el centro de la bola B.

Ahora la aceleración debida a la tierra en la bola B es $\vec{a}_B = \frac{G M_e}{r_B^2}$

Queremos la aceleración de B con respecto a A para que podamos escribir

$\vec{a}_B - \vec{a}_A = \frac{G M_e}{r_B^2} - \frac{G M_e}{r_A^2}$

podemos reescribir $r_B = r_A + 22m$

Entonces $\vec{a}_B - \vec{a}_A = \frac{G M_e}{(r_A + 22m)^2} - \frac{G M_e}{r_A^2}$

$\vec{a}_B - \vec{a}_A = G M_e \left[\frac{1}{(r_A + 22m)^2} - \frac{1}{r_A^2}\right]$

Ahora aquí es donde estoy perdido. No sé cómo incorporar la aproximación. $(1+x)^n \approx 1+nx$

$(r_A + 22m)^{-2}$ no sigue el $(1+x)^n$ formato

pongo la expresion $\frac{1}{(r + x)^2}$ en wolframio para ver si hay formas alternativas de la expresión que pueda aplicar a la aproximación y no pude encontrar ninguna. También traté de factorizar $\frac{1}{r_A^2}$ Llegar

$\frac{G M_e}{r_A^2} \left[\frac{r_A^2}{(r_A + 22m)^2} - 1 \right]$ Pero esto tampoco funciona con la aproximación.

Si alguien pudiera indicarme la dirección correcta o darme una pista, se lo agradecería mucho.

Editar: la pregunta es P1.5 del Libro de ejercicios de relatividad general de Moore

Respuestas (3)

¿Cuáles son las magnitudes de la aceleración de las bolas B y C que caen en relación con A? (Necesita ayuda con la aproximación binomial)

ilmari karonen · Answer 1

Cuando tienes una expresión de la forma $(a + b)^n$ , dónde $|a| \gg |b|$ , puedes reescribirlo como

(a + b)^{norte} = {(a (1 + \frac{b}{a}))}^{norte} = a^{norte} {(1 + \frac{b}{a})}^{norte}

$(a + b)^n = \left(a\left(1+\frac ba\right)\right)^n = a^n \left(1+\frac ba\right)^n$ y entonces, dado que

| \frac{n b}{a} | ≪ 1

$\left|\frac{nb}a\right| \ll 1$ (y

a + b > 0

$a + b > 0$ ), aplicar la aproximación binomial para obtener

a^{norte} {(1 + \frac{b}{a})}^{norte} \approx a^{norte} (1 + norte \frac{b}{a}) .

$a^n \left(1+\frac ba\right)^n ≈ a^n \left(1 + n\frac ba\right).$

en tu ejemplo $r_A ≈ 6371\,{\rm km} \gg 22\,{\rm m}$ , entonces podemos escribir

\frac{1}{(r_{A} + 22 metro)^{2}} = (r_{A} + 22 metro)^{- 2} = r_{A}^{- 2} {(1 + \frac{22 metro}{r_{A}})}^{- 2} \approx r_{A}^{- 2} (1 - 2 \cdot \frac{22 metro}{r_{A}})

$\frac1{(r_A + 22\,{\rm m})^2} = (r_A + 22\,{\rm m})^{-2} = r_A^{-2}\left(1 + \frac{22\,{\rm m}}{r_A}\right)^{-2} ≈ r_A^{-2}\left(1 - 2 \cdot \frac{22\,{\rm m}}{r_A}\right)$ y luego restar

r_{A}^{- 2}

$r_A^{-2}$ para obtener

\frac{1}{(r_{A} + 22 metro)^{2}} - \frac{1}{r_{A}^{2}} \approx r_{A}^{- 2} (1 - 2 \cdot \frac{22 metro}{r_{A}}) - r_{A}^{- 2} = - 2 \cdot 22 metro \cdot r_{A}^{- 3} .

$\frac1{(r_A + 22\,{\rm m})^2} - \frac1{r_A^2} ≈ r_A^{-2}\left(1 - 2 \cdot \frac{22\,{\rm m}}{r_A}\right) - r_A^{-2} = - 2 \cdot 22\,{\rm m} \cdot r_A^{-3}.$

Multiplique esto por $GM_e$ , y tendrás tu respuesta.

¡Gracias por la información sobre cuándo es apropiada la aproximación binomial! Realmente aprecio que hayas profundizado en eso. Seguí tratando de sacar el 22m, cuando debería haber estado tratando de sacar el $r_a$ , Como dijiste. ¡Gracias hombre!

jose h · Answer 2

Solo haz

\frac{1}{(r_{A} + 22)^{2}} = \frac{1}{(22)^{2} (\frac{r_{A}}{22} + 1)^{2}}

$\frac{1}{(r_A + 22)^2}=\frac{1}{ (22)^2 (\frac{r_A}{22} + 1)^2}$ Ahora tienes un término

(1 + \frac{r_{A}}{22})^{- 2} \approx 1 - \frac{r_{A}}{11}

$(1+\frac{r_A}{22})^{-2}\approx 1-\frac{r_A}{11}$

En la primera línea, $\sqrt{22}$ debe ser reemplazado por $22^2$ .
¿No es esto también al revés (y también falta una unidad)? $r_A \gg 22\,{\rm m}$ , por lo que la aproximación binomial no es válida tal como la escribiste.

Brendan Darrer · Answer 3

Para la aproximación binomial, necesita sacar el $22m$ . Entonces:

(r_{A} + 22 metro)^{- 2} = \frac{1}{(r_{A} + 22 metro)^{2}} = \frac{1}{(22 metro)^{2} (\frac{r_{A}}{22 metro} + 1)^{2}}

$(r_A + 22m)^{-2} = \frac{1}{(r_A + 22m)^2} = \frac{1}{(22m)^2(\frac{r_A}{22m}+1)^2}$

∴ expansión binomial: (1 + X)^{norte} \approx 1 + norte X

$\therefore \ \ \ \text{binomial expansion:} \ \ \ (1+x)^n \approx 1 + nx$ También:

(1 + a X)^{norte} \approx 1 + norte a X dónde a es constante

$(1 + a x)^n \approx 1 + n a x \ \ \ \ \ \text{where} \ \ \text{a} \ \ \text{is} \ \ \text{constant}$

Tenemos:

Constante \times (1 + a X)^{norte} = \frac{1}{(22 metro)^{2}} {(\frac{r_{A}}{22 metro} + 1)}^{- 2} \approx \frac{1}{(22 metro)^{2}} (1 - 2 \frac{r_{A}}{22 metro}), dónde norte = - 2

$\text{Constant} \times (1 + ax)^n = \frac{1}{(22m)^2}\left(\frac{r_A}{22m}+1\right)^{-2} \approx \frac{1}{(22m)^2} \left( 1 - 2 \frac{r_A}{22m} \right) \ \ , \ \text{where} \ \ n = -2$

¡Muchas gracias! No puedo creer que no se me haya ocurrido sacar el 22m. Prestigio
Espera, creo que hay un error tipográfico en tu solución. En lugar de $\frac{1}{\sqrt{22}}$ no debería ser $\frac{1}{22^2}$ ?
Para hacer este enfoque más general si tiene alguna condición como $r\ll R$ puedes reescribirlo como $\frac{r}{R}\equiv x\ll 1$ . Si tiene una función $f(r,R)$ que desea aproximar puede reemplazar cada $r$ con $xR$ y finalmente puedes expandir Taylor en $x$ porque $x$ es un parámetro pequeño (al tomar $R$ constante)
¿No es esto al revés? La aproximación binomial es válida para $x$ cerca de $0$ , pero en este caso $\frac{r_A}{22\,{\rm m}} \gg 1$ .
@IlmariKaronen tiene razón. Esta aproximación solo sería válida si las distancias de las bolas al centro de la Tierra ( $r_A$ , $r_B$ , y $r_C$ ) eran mucho menos de 22 metros.

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