Cálculo de la función de Green a partir de la serie de Dyson sin el orden normal

Pedidos normales

El truco consiste en darse cuenta de que una cadena ordenada normal de campos es solo un polinomio de Hermite (ref.$[1]$):

$$\colon \phi^n\colon=H_n(\phi)\tag{1}$$ para que, por ejemplo, $$\colon \phi^2\colon=\phi^2-c\tag{2}$$ dónde $$c\equiv [\phi^+,\phi^-]=\delta(\boldsymbol 0)\tag{3}$$ es una constante (formalmente divergente).

En el caso de las teorías libres, el hamiltoniano es cuadrático en$\phi$, y por lo tanto

$$\colon\mathcal H_\mathrm{free}\colon=\mathcal H_\mathrm{free}-c\tag{4}$$ lo que implica que $c$es solo la energía de punto cero. En una teoría más general, tenemos $$\colon\mathcal H\colon=\mathcal H+P(\phi),\tag{5}$$ dónde $P(\phi)$es solo un polinomio en $\phi$. Por lo tanto, las teorías de orden normal y de orden no normal son cualitativamente idénticas.

Por ejemplo, en el caso de$\phi^3$teoría,

$$\colon\phi^3\colon=\phi^3-3c\phi\tag{6}$$ lo que implica que las interacciones $\colon\phi^3\colon$y $\phi^3$dan lugar a las mismas teorías módulo renacuajos .

Del mismo modo, en$\phi^4$teoría,

$$\colon\phi^4\colon=\phi^4-6c\phi^2+3c^2 \tag{7}$$ lo que implica que $\colon\phi^4\colon$y $\phi^4$dan lugar a las mismas teorías módulo una renormalización de masa (conocida como slugs ) y una energía de punto cero intrascendente (que solo afecta a las burbujas de vacío).

Las interacciones de orden superior no se consideran debido a la renormalizabilidad, pero la discusión es análoga. En pocas palabras, la ordenación normal de un lagrangiano deja invariante el término de orden superior y modifica el coeficiente del resto de términos. Esto implica que las teorías del orden normal y del orden no normal sólo difieren en el valor de los contratérminos .

En el caso de las teorías de calibre, el problema es un poco más sutil, porque el orden normal puede afectar la identidad de Ward. El caso de QED es particularmente simple porque aquí (cf.$[2]$)

$$\colon A\cdot j\colon=A\cdot j-c' \tag{8}$$ dónde $c'$es una constante (formalmente divergente). Por lo tanto, el ordenamiento normal en QED no hace que la conservación de la corriente sea anómala. Por otro lado, en escalar QED, un orden normal ingenuo rompe la identidad de Ward (cf. esta publicación ).

El punto clave del ordenamiento normal es el siguiente: como en$(5)$, los hamiltonianos ordenados normales y los hamiltonianos ordenados no normales sólo difieren en un polinomio en$\phi$, de menor grado que el término de interacción superior. En otras palabras, las dos teorías son equivalentes y la única diferencia es el valor real de los contratérminos. Sin embargo, la ordenación normal de un hamiltoniano elimina todos los diagramas en los que un propagador se cierra sobre sí mismo (también conocido como autocontracciones ), es decir, elimina todos los diagramas de renacuajos . Por lo tanto, el uso de interacciones de orden normal conduce a menos diagramas y, por lo tanto, el cálculo perturbativo es más simple, manteniendo la física sin cambios. Las cantidades mensurables no se ven afectadas por la prescripción de pedido.

En cualquier caso, todo el formalismo del ordenamiento normal no se comprende por completo. La definición estándar se da solo para campos libres, y no está nada claro que la definición también se pueda aplicar de manera consistente a campos que interactúan. Ver$[3]$para más detalles.

renormalización

Entonces, ¿cómo se relaciona todo esto con la renormalización?

La renormalización es un proceso definido por el usuario: usted elige cómo hacerlo. Ya sea que normalice su Lagrangiano o no, es independiente de cómo elija volver a normalizar su teoría. Puede seguir un esquema en el caparazón o usar alguna otra receta para calcular los contratérminos; la escala a la que se vuelve a normalizar es, en principio, arbitraria; puede optar por renormalizar las funciones de vértice de orden más bajo o alguna función de correlación más alta; etc. A cualquiera de estas opciones no le importa si el Lagrangiano está ordenado normalmente o no.

Como se discutió antes, el único efecto de la ordenación normal de una teoría es que los diagramas de renacuajos están ausentes, y esto afecta el valor real de los contratérminos. Pero el "algoritmo" de renormalización no se ve afectado por la prescripción de ordenamiento (aunque el hecho de que el número de diagramas sea menor puede simplificar el proceso real de renormalización).

Considere por ejemplo$\phi^4$teoría, definida por el Lagrangiano

$$\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B\phi^2+C\phi^4+D \tag{8}$$ para algunos $A,B,C,D\in\mathbb R$.

Si ahora usas$(7)$, podemos reescribir el Lagrangiano anterior como

$$\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B'\phi^2+C:\phi^4:+D' \tag{9}$$ dónde $B'=B-6c$y $D'=D+3c^2$.

Ahora viene la renormalización. Para calcular$A,B,C,D$necesitamos elegir alguna receta; Por ejemplo,$D$(o$D'$) generalmente se fija por el requisito de que el vacío tenga energía cero. Esta energía viene dada por la suma de todas las burbujas de vacío.

En la teoría ordenada no normal, las burbujas de vacío están dadas por

dónde "$\text{counter-terms}$"son los diagramas con contra-términos,

con valor$-iD$y$-i(A-1)p^2-i(B-1)$respectivamente.

Si ahora insistimos en que$E_0\equiv 0$a este orden en la teoría de perturbaciones, obtenemos un cierto valor (divergente) para los coeficientes$A,B,D$.

Por otro lado, en la teoría ordenada normal, los diagramas de vacío son

dónde "$\text{counter-term}$" está dado por los mismos diagramas que antes, pero con valor$-iD'$y$-i(A-1)p^2-i(B'-1)$respectivamente. Si ahora insistimos en que$E_0\equiv 0$a este orden en la teoría de perturbaciones, obtenemos un cierto valor (divergente) para los coeficientes$A,B',D'$, diferente a la de antes.

El objeto medible,$E_0$, tiene el mismo valor en ambos enfoques, pero los coeficientes no. Por ejemplo,$D'$se desvanece a primer orden en la teoría de la perturbación, pero$D$no es. El orden normal ha reducido el número de diagramas y ha causado$D'\neq D$, pero ha dejado la física inalterada.

Lo mismo sucede exactamente con las funciones de correlación de orden superior. Por ejemplo, en la teoría ordenada no normal, la energía propia de$\phi$se desvanece al primer orden en la teoría de la perturbación; si consideras el Lagrangiano ordenado normal entonces$A=B'=0$a este orden, mientras$B\neq 0$. La diferencia es causada por el diagrama de slug (los detalles se dejan al lector; en la teoría ordenada normal, la primera contribución no trivial a$\Pi(p^2)$está dado por el diagrama de la puesta del sol).

En resumen , podemos decir lo siguiente: los diagramas que contribuyen a un orden dado en la teoría de perturbaciones dependen de si elegimos o no el orden normal del Lagrangiano, y esto afecta el valor real de los contratérminos. Pero los observables son independientes de cualquier orden.

Lectura adicional: Renacuajos, cefalópodos y 'Ordenamiento normal completo' , por DP Skliros.

Referencias:

• $[1]$: ver http://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f689_mecquant_i/ajp76_65.pdf

• $[2]$: Bjorken y Drell, Relativistic Quantum Fields, sección 15.5.

• $[3]$: Robin Ticciati, Teoría cuántica de campos para matemáticos. Busque "orden normal" en el índice, al final del libro.