Ambigüedad en Series Perturbativas Asintóticas e Instantons

La ambigüedad a la que la gente normalmente se refiere se debe a la falta de sumabilidad de Borel de la serie de perturbaciones.

Considere una serie de la forma

$$A(g) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n g^n (n!)}$$

Si los coeficientes$b_n$son de orden$1$, esta serie es obviamente divergente. Pero podemos calcular su suma de Borel. Primero calcule la transformada de Borel:

$$\mathcal{B}A(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{ (-1)^n t^n }$$

Entonces podemos calcular la suma de Borel:

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \mathcal{B}A(t g) }= \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n (tg)^n }}$$

Ahora sacamos la suma de la integral, asumiendo que la serie se puede integrar término por término. Esto, técnicamente hablando, es algo incorrecto ya que esta serie no es uniformemente convergente, de hecho, no es convergente en absoluto, pero lo haremos de todos modos con la condición de que simplemente definamos que la respuesta es lo que obtenemos al hacer esto. Yo soy el que define cómo resumir esta serie, así que tengo derecho.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 + tg} }$$

y mientras$g > 0$, esta expresión es obviamente finita. El procedimiento funcionó y pudimos encontrar un buen número bien definido para asignar a esta serie.

Sin embargo, notará que el hecho de que la serie original se alternara fue crucial para obtener este resultado. Repitámoslo para una serie no alterna, que es más representativa de los tipos de series que puede encontrar al sumar diagramas de Feynman en una teoría de campos.

$$S(g) = \int_0^{\infty}{dt\, e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty}{ (tg)^n }} = \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-t}}{1 - tg} } = \frac{1}{g} \int_0^{\infty}{dt\, \frac{e^{-\frac{t}{g}}}{1 - t} }$$

es decir, por$g > 0$el integrante tiene un polo en el eje real positivo. Todavía puede hacer la integral, pero debe elegir en qué dirección debe hacer su excursión al plano complejo. Esta es una ambigüedad.

Observe que el residuo en el$t = 1$el polo de arriba es

$$Res(S,1) = -\frac{e^{-\frac{t}{g}}}{g}$$

¡Más y más curioso! La parte imaginaria que encuentra en la suma de Borel no se encuentra en ninguna parte de la serie original, ya que todos los términos son reales, y, además, no es perturbativa en$g$! Hmm... eso es sugerente.

Resulta que si realiza sus cálculos con suficiente cuidado y las continuaciones analíticas se llevan a cabo de manera consistente, entonces las contribuciones imaginarias asociadas con los instantes cancelan las contribuciones imaginarias de la falla de la serie de perturbaciones para ser sumables de Borel. Por lo tanto, la expresión completa de los valores propios de la energía no sufre ambigüedades. Este fenómeno en el que los órdenes altos en la teoría de la perturbación (sobre el vacío trivial) de alguna manera codifican información sobre los órdenes bajos alrededor de las soluciones instantáneas se ha denominado "resurgimiento". Las palabras clave en la literatura también incluyen "serie trans", "cuñas de Stokes" y "dedales de Lefschetz".

Referencias:

http://arxiv.org/abs/1210.2423

http://arxiv.org/abs/1210.3646

http://arxiv.org/abs/1411.3585

Tal vez esto sería mejor como comentario, ya que no es una respuesta completa, pero no tengo suficiente reputación para eso. La ambigüedad más importante es que hay un número infinito de funciones que tienen la misma expansión asintótica. Como ejemplo, si$f(g)$tiene alguna expansión asintótica en$g$como$g \to 0$que$f(g) + e^{-1/g^2}$tiene exactamente la misma expansión asintótica. Primero, observe que esto parece una versión de juguete de una contribución instantánea. En segundo lugar, el hecho de que haya más de una función con las mismas expansiones asintóticas significa que para "sumar" realmente toda la serie asintótica, se necesitan supuestos adicionales.

Por ejemplo, si sé que la función a la que se aproxima la serie asintótica es una función de Steiljes, entonces sé que si construyo aproximaciones de Padé a partir de la serie de Taylor, entonces podré obtener un límite superior e inferior (exacto) en la función, de una serie asintótica divergente. Lo que son las funciones de Stieljes y las aproximaciones de Padé se trata en las excelentes conferencias de Carl Bender, que fue sugerido por uno de los comentarios. Además, si sé que los coeficientes en la expansión divergen lo suficientemente lento (creo que$(2n)!$, pero no estoy seguro de recordar correctamente) que no solo puedo dar un límite superior e inferior, sino que las aproximaciones de Padé realmente convergen a la función en cuestión.