¿Qué hay de malo en tu respuesta?

Voy a escribir una respuesta explicando por qué su solución es incorrecta, porque no creo que un comentario sea suficiente. Primero, voy a hacer un cambio de variable. usaste la variable$r$para referirse a la distancia desde el eje del cilindro. Me siento más cómodo usando el símbolo$x$para esta variable, así que eso es lo que voy a hacer. La razón por la que me siento más cómodo con esta elección es porque no se integra sobre capas cilíndricas de radio.$r$; se integra sobre superficies de constante$x$.

De todos modos, veamos lo que hiciste. tu ecuación

$$dV = 2L \sqrt{R^2-x^2}dx$$ es correcto. Esto es genial hasta ahora.

La siguiente ecuación que quiero ver es

$$dm = \frac{2M}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}dx.$$

Observe que olvidó el$dx$en su pregunta original, pero es obvio que eso es lo que quiso decir. Ahora pensemos en lo que significa esta ecuación. Significa que la masa en la superficie de constante$x$de ancho$dx$es el$dm$dada por la ecuación. Esta ecuación también está totalmente bien, pero no es tan útil como crees.

Tengo un problema con tu próxima ecuación. Tu próxima ecuación es

$$I = \frac{2M}{\pi R^2}\int x^2 \sqrt{R^2-x^2}dx.$$

La razón por la que tengo un problema con esta ecuación es que realmente está diciendo$I=\int x^2 dm /M$, pero por supuesto sabemos que debe ser un$r$en lugar de un$x$:$I=\int r^2 dm /M$. La razón por la que esta distinción es importante es porque sus superficies de constante$x$no son superficies de constante$r$. Ahora no podemos solucionar este problema simplemente escribiendo

$$I = \frac{2M}{\pi R^2}\int r^2 \sqrt{R^2-x^2}dx$$

porque cada superficie de constante$x$no está bien definido$r$: la parte de la superficie cerca de la superficie del cilindro tiene$r=R$, pero la parte en el medio de la superficie tiene$r=x$. Así que la integral anterior no tiene sentido.

Manera correcta de obtener la respuesta.

Hay dos maneras de encontrar la respuesta entonces. Una forma es simplemente escribir la integral en coordenadas rectangulares y la otra forma es usar el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia de cada superficie de constante$x$y la integración sobre constante$x$.

Primera forma de obtener la respuesta.

Veamos primero el primer método. Obtenemos la siguiente expresión para el momento de inercia:

$$I = \frac{M}{\pi R^2}\int^R_{-R} \int^\sqrt{R^2-x^2}_{-\sqrt{R^2-x^2}} (x^2+y^2) dy\,dx$$

Haciendo la integral interior, se obtiene

$$\begin{equation} \begin{aligned} I &= \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R} \left(\frac{4}{3} R^2 + \frac{2}{3}x^2 \right) \sqrt{R^2-x^2} dx \\ &=\frac{1}{3} \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R}R^2\sqrt{R^2-x^2} dx+\frac{2}{3} \frac{2M}{\pi R^2}\int^R_{-R}x^2\sqrt{R^2-x^2} dx \end{aligned} \end{equation}$$

Ahora ya has evaluado la integral en el segundo término de tu pregunta. La integral en el primer término es fácil porque es solo el área de un semicírculo. Entonces obtenemos

$$\begin{equation} \begin{aligned} I &= \frac{1}{3} \frac{2M}{\pi R^2} R^2 \pi R^2/2 +\frac{2}{3} \frac{M R^2}{4} \\ &= MR^2/2 \end{aligned} \end{equation}$$

Segunda forma de obtener la respuesta.

Ahora veamos la segunda forma de obtener la respuesta. Esta vez solo calcularemos el momento de inercia de cada superficie de constante$x$y sumarlos. Podríamos encontrar en una tabla que el momento de inercia de un rectángulo de ancho$2\sqrt{R^2-x^2}$y masa$dm$sobre su centro de masa es$\frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right).$Pero estamos más interesados ​​en el momento de inercia sobre el origen cuando esta superficie de constante$x$se desplaza una distancia$x$desde el origen Usando el teorema de los ejes paralelos, encontramos que el momento de inercia es$\frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right) + dm x^2$. Este es el momento de inercia de cada superficie de constante$x$. Sumándolos obtenemos el momento de inercia total:

$$I = \int dI = \int \frac{1}{3} dm \left(R^2-x^2\right) + dm x^2 = \int \frac{1}{3} R^2 dm + \frac{2}{3} x^2 dm.$$

Ahora conectando nuestra expresión para$dm$, lo conseguimos

$$dI = \frac{2M}{\pi R^2} \int_{-R}^R \frac{1}{3} R^2 \sqrt{R^2-x^2} + \frac{2}{3} x^2 \sqrt{R^2-x^2} dx.$$

Esta es la misma expresión que obtuvimos de la primera forma de calcular el momento de inercia. Así que esto nos dará la respuesta correcta. Además, podemos ver que el$y$integral del primer método acaba de darnos el momento de inercia de cada superficie de constante$x$.

Debo agregar que la forma más fácil de obtener el momento de inercia es integrar sobre superficies de constante$r$(dónde$r$es la distancia desde el eje del cilindro. Tu consigues eso$dI = r^2 dm$dónde$dm = \frac{M}{\pi R^2} 2 \pi r dr.$Entonces obtienes$I = \int dI = \frac{M}{\pi R^2}\int_0^R r^2 2 \pi r dr = \frac{2 M}{R^2} \int_0^R r^3 dr = MR^2 /2$

Suponga que la longitud del cilindro es$L$, el radio de la sección transversal es$R$. Elegimos coordenadas cilíndricas para resolver la pregunta.

El momento de inercia es que,

$$I=\int s^2dm,$$ y asumimos que la densidad es constante, tenemos, $$I=\int s^2 \rho dv.$$ En coordenadas cilíndricas, $dv=sds\;dz\;d\theta$, entonces obtenemos, $$\begin{align} I&=\rho\cdot \int\int\int s^2\cdot sds\;dz\;d\theta \\& =\rho\int_0^R s^3ds\int_0^Ldz\int_0^{2\pi}d\theta \\ & =\rho\cdot 2\pi \cdot L\cdot \frac{R^4}{4} \\ & =\frac{ \rho \pi R^4L}{2} .\end{align}$$

Luego sustituimos$\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 L}$en la ecuación anterior, tenemos

$$\begin{align} I&=\frac{M}{\pi R^2 L} \cdot \frac{\pi R^4 L}{2} \\ & =\frac{1}{2}MR^2. \end{align}$$