¿Cada enfoque de regularización/renormalización proporciona constantes de acoplamiento en ejecución?

¿La regularización dimensional (y la renormalización de contratérminos) da lugar a constantes de acoplamiento en ejecución como los otros métodos de regularización?

Sí. En los esquemas de Regularización Dimensional (RD), siempre se introduce una escala$\mu$, para la consistencia del análisis dimensional (¡en masa!). Los acoplamientos renormalizados dependen de esta escala$\mu$como dictan las ecuaciones RG:

$$\mu \frac{\text d}{\text d \mu} g^i = \beta ^i(g).$$

En la práctica, la escala$\mu$se introduce requiriendo que la acción sea adimensional. Tomemos por ejemplo sin masa$\phi ^4$teoría:

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial \phi_0)^2-\frac{g_0}{4!}\phi_0 ^4,$$ donde el subíndice $0$denote los acoplamientos desnudos. En $d=4-\epsilon$dimensiones, se puede ver fácilmente que $g_0$tiene dimensión de masa $$[g_0]=\epsilon.$$ Puede definir un acoplamiento renormalizado adimensional $g$por: $$g_0 (\epsilon)= Z_g(\mu ,\epsilon) g(\mu,\epsilon) \mu ^{\epsilon}.$$ Al requerir $g_0$ser independiente de $\mu$, puede derivar la ecuación RG satisfecha por $g(\mu,\epsilon)$(en una dimensión espacio-temporal arbitraria, en particular en el límite $\epsilon \to 0$).

En el ejemplo anterior, de alguna manera se ve obligado a introducir un nuevo parámetro$\mu$, pero se puede aplicar el mismo procedimiento si su teoría original de cuatro dimensiones ya contiene alguna escala de masa en el nivel clásico. Por ejemplo, si el escalar$\phi _0$tenía masa física$m$, también puede definir:

$$g_0 = Z g m^{\epsilon},$$ sin tener que introducir una nueva escala $\mu$. Esto es perfectamente consistente con el análisis dimensional, pero también menos útil desde el punto de vista práctico, porque no le permite domesticar "grandes registros" mediante una elección inteligente de $\mu$.

Y si esto es así, ¿todo esquema de renormalización implica ejecutar constantes de acoplamiento?

Como espero que quede claro a partir de la discusión anterior, un acoplamiento en funcionamiento es completamente una cuestión de definición. Puede prescindir de él en la regularización dimensional, simplemente arreglándolo de una vez por todas.

Sin embargo, en la física de partículas moderna, los fenómenos de interés van desde la$\text {GeV}$escala de la física hadrónica a la$10^{19} \text {GeV}$escala de gravedad cuántica (?). En este contexto, el uso de un acoplamiento en ejecución le permite confiar en los resultados de los cálculos de orden adelantado sin preocuparse por los registros grandes.

Entonces, me atrevería a decir que todo esquema de renormalización útil implica ejecutar acoplamientos.

En primer lugar, el funcionamiento del acoplamiento capturado en la función beta es una propiedad fundamental de una teoría y debe ser independiente de cualquier esquema. Si$\beta = 0$para todos los acoplamientos, esto implicaría una invariancia de escala.

Ahora, si estamos realizando una renormalización solo para calcular rápidamente un diagrama, se puede aplicar la regularización junto con la fórmula del bosque de Zimmermann para hacerlo, sin siquiera introducir una escala,$\mu$ya que se puede introducir al final mediante análisis dimensional.

Sin embargo, si uno quiere realizar formalmente la renormalización, reescribiendo el Lagrangiano, entonces se vuelve natural introducir una escala$\mu$lo que elimina la dimensionalidad del acoplamiento, por lo que se puede trabajar con un acoplamiento adimensional en el tratamiento perturbativo.

El factor que relaciona el acoplamiento desnudo y renormalizado es lo que contribuye a la función beta. La regularización dimensional es simplemente un método para mantener los infinitos en una forma no evaluada, de modo que uno pueda restarlos. Hay un número infinito de formas de regularizar, pero el principio de renormalización es el mismo.