¿Se puede ver la regularización dimensional como una versión suave de un corte wilsoniano?

Question

¿Se puede ver la regularización dimensional como una versión suave de un corte wilsoniano?

Física
regularización
renormalización
teoría cuántica de campos
teoría del campo efectivo

knzhou

En la imagen wilsoniana de la renormalización, se define que una teoría cuántica de campos tiene grados de libertad solo hasta una escala de energía $\Lambda$ . Los resultados de los experimentos de baja energía no deberían cambiar a medida que bajamos $\Lambda$ , siempre que cambiemos los parámetros en la acción para compensar la pérdida de los modos de alta energía. Cuantitativamente tenemos

S_{Λ^{'}} [ϕ] = S_{Λ} [ϕ] + registro \int_{\tilde{ϕ} \in (Λ^{'}, Λ)} D ϕ {mi}^{i S_{Λ} [ϕ]}

$S_{\Lambda'}[\phi] = S_{\Lambda}[\phi] + \log \int_{\tilde{\phi} \in (\Lambda', \Lambda)} \mathcal{D} \phi \, e^{iS_{\Lambda}[\phi]}$ que expresa el hecho de que la función de partición es invariante,

\int_{\tilde{ϕ} \in (0, Λ^{'})} D ϕ {mi}^{i S_{Λ^{'}} [ϕ]} = \int_{\tilde{ϕ} \in (0, Λ)} D ϕ {mi}^{i S_{Λ} [ϕ]} .

$\int_{\tilde{\phi} \in (0, \Lambda')} \mathcal{D}\phi\, e^{i S_{\Lambda'}[\phi]} = \int_{\tilde{\phi} \in (0, \Lambda)} \mathcal{D}\phi\, e^{i S_{\Lambda}[\phi]}.$ Entonces tenemos acoplamientos dependientes de la escala

g (Λ)

$g(\Lambda)$ .

Por otro lado, en las técnicas de 'RG continuo' como la regularización dimensional, no hay corte de alta energía. En su lugar, realizamos algún truco matemático para asignar valores finitos a las integrales ilimitadas. A veces, pero no todo el tiempo, el truco que usamos introducirá una escala de masa arbitraria $\mu$ , produciendo acoplamientos dependientes de la escala $g(\mu)$ .

Hay muchas preguntas en este sitio sobre cómo se relacionan estos dos enfoques, y la respuesta habitual es que no existe ninguna relación. ¡Pero sospecho que las dos vistas son realmente iguales!

Considere alguna integral de bucle en una teoría no regularizada,

I = \int d^{4} pag (cosa) \sim \int_{0}^{\infty} {pag}^{3} d pag (cosa) .

$I = \int d^4 p\, (\text{stuff}) \sim \int_0^\infty p^3\, dp \, (\text{stuff)}.$ En la imagen wilsoniana, la integral sería finita por un corte estricto,

I \sim \int_{0}^{Λ} {pag}^{3} d pag (cosa) .

$I \sim \int_0^\Lambda p^3\, dp \, (\text{stuff)}.$ En la regularización dimensional, en cambio, trabajamos en dimensión arbitraria, dando

I \sim \int_{0}^{\infty} {pag}^{d - 1} d pag (cosa) .

$I \sim \int_0^\infty p^{d-1} dp \,(\text{stuff}).$ Entonces si tomamos

d < 4

$d < 4$ , hay más grados de libertad con energías más bajas y menos grados de libertad con energías más altas. Si decimos que tenemos igualdad en la energía

μ

$\mu$ (y esto debe ser cierto, por análisis dimensional), entonces la regularización dimensional solo está haciendo una versión más suave del corte wilsoniano duro, con

μ \sim Λ

$\mu \sim \Lambda$ !

Para aclarar, aquí hay un bosquejo de cómo cambia el número de grados de libertad en algunas energías en cada uno de estos esquemas.

¿Es válida esta imagen? ¿Son todos los métodos RG continuos secretamente wilsonianos? ¿Hay alguna referencia donde la gente discuta estas ideas?

parker

Tengo entendido que la gente cree que los dos métodos son equivalentes, pero nadie ha podido demostrarlo con rigor. ¿No dan siempre la misma respuesta final física en todos los casos conocidos? En ese caso, son completamente equivalentes, en lugar de tener "ninguna relación".

knzhou

@tparker Supongo que sí, ¡pero la forma en que la gente habla de ellos es completamente diferente! Estas dos cosas están en los extremos opuestos de su libro QFT típico y las palabras que las rodean son totalmente diferentes. Me pregunto si eso es solo un accidente histórico, ¿y realmente están diciendo lo mismo?

Siva

¡Sí, lo pienso mucho como el diagrama que dibujaste! Tal vez mi respuesta y comentarios aquí aclaren algunos aspectos. Particularmente recomiendo mirar algunas de las referencias de EFT.

Respuestas (3)

¿Se puede ver la regularización dimensional como una versión suave de un corte wilsoniano?

Tengo entendido que la gente cree que los dos métodos son equivalentes, pero nadie ha podido demostrarlo con rigor. ¿No dan siempre la misma respuesta final física en todos los casos conocidos? En ese caso, son completamente equivalentes, en lugar de tener "ninguna relación".
@tparker Supongo que sí, ¡pero la forma en que la gente habla de ellos es completamente diferente! Estas dos cosas están en los extremos opuestos de su libro QFT típico y las palabras que las rodean son totalmente diferentes. Me pregunto si eso es solo un accidente histórico, ¿y realmente están diciendo lo mismo?
¡Sí, lo pienso mucho como el diagrama que dibujaste! Tal vez mi respuesta y comentarios aquí aclaren algunos aspectos. Particularmente recomiendo mirar algunas de las referencias de EFT.

usuario1504 · Answer 1

Para abordar su pregunta más amplia, permítame señalar que no es necesario pensar que en Wilson QFT "se define una teoría cuántica de campos para tener grados de libertad solo hasta una escala de energía $\Lambda$ ". Puedes imaginar que los grados de libertad existen en todas las escalas, y no importará, siempre que el funcional de energía/acción solo dependa de las escalas de larga distancia.

EL RESTO DE ESTA RESPUESTA ES ENGAÑOSO. Ver ¿ Importa la medida angular en la regularización dimensional?

A su pregunta más específica: sí, puede pensar en la regularización dimensional como una versión más suave de un corte de impulso. (Me gusta esta perspectiva porque no es necesario pensar en la regularización dimensional como una interpolación real entre espacios de diferentes dimensiones. Puede salirse con la suya en circunstancias limitadas, pero en general, es confuso. Las representaciones de Spinor, por ejemplo, no realmente se adapta bien a las dimensiones fraccionarias.)

El punto principal de la regularización dimensional es que puede examinar las singularidades de las integrales de momento reemplazando la medida de momento habitual $d^np$ con $\big(\frac{\mu}{|p|}\big)^{\epsilon} d^np$ . Esto sigue siendo una medida sobre las funciones en $\mathbb{R}^n$ , pero los poderes extra de $|p|$ en el denominador suprimir los modos de momento alto en comparación con los modos de momento bajo. Luego impone condiciones de renormalización y elimina el corte enviando $\epsilon \to 0$ .

Nota: Esta no es exactamente la definición de libro de texto de regularización dimensional porque no me he molestado en continuar analíticamente con la medida angular. Por ejemplo, en la regularización dimensional del 'libro de texto', uno encuentra

\int \frac{d^{4 - ϵ} k}{(2 π)^{4}} \frac{1}{(k^{2} + Δ)^{2}} = \frac{1}{(4 π)^{2}} (\frac{2}{ϵ} - registro (Δ) + γ + registro (4 π) + O (ϵ)) .

$\int \frac{d^{4-\epsilon}k}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \big(\frac{2}{\epsilon} - \log(\Delta) + \gamma + \log(4\pi) + O(\epsilon)\big).$ En la variante que estoy usando aquí,

\int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{(m / | k |)^{ϵ}}{(k^{2} + Δ)^{2}} = \frac{1}{(4 π)^{2}} (\frac{2}{ϵ} + registro (\frac{m^{2}}{Δ}) + O (ϵ)) .

$\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{(\mu/|k|)^{\epsilon}}{(k^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \big(\frac{2}{\epsilon} + \log(\frac{\mu^2}{\Delta}) + O(\epsilon)\big).$

No creo que esto haga ninguna diferencia significativa. La medida angular $\epsilon$ -dependencia crea algunos términos constantes en $\epsilon$ , pero no cambia la dependencia de la integral de los momentos externos. Pero como puede ver, cambia las expresiones que aparecen en etapas intermedias, antes de imponer condiciones de renormalización.

No creo que tu receta $\mathrm d^np\to(\mu/|p|)^\epsilon\mathrm d^np$ es equivalente a dimReg. Puede funcionar en el ejemplo simple que consideró, pero no funcionará de manera más general. Por un lado, estoy bastante seguro de que esta receta violará la identidad de Ward en QED, lo que debería ser bastante fácil de verificar.
Me había estado preguntando acerca de eso y de hecho hice una verificación al azar, comparando las dos medidas para la ecuación 7.79 de Peskin & Schroeder. Para mi sorpresa, coincidieron. Solo aparece la divergencia logarítmica.
Oye, eso es bueno! Incluso podría ir tan lejos como para decir, en una imagen de dibujos animados, que el punto de MS-bar (sobre solo MS) es convertir el registro de atenuación 'estándar' en lo mejor que tiene.
@AccidentalFourierTransform Esto no es una prueba, obviamente, pero apunta a uno: si calcula la diferencia entre los dos esquemas, encuentra que siempre es constante en $\epsilon$ e independiente de $\Delta$ . Lo que no he comprobado es que estos términos no dejen de cancelarse entre sumandos de alguna manera desagradable.
Masticando esto más: creo que ahora solo puedo probar que esto funciona en el caso de un poste simple en $\epsilon$ . Los polos de orden superior darán lugar a cambios en los coeficientes de los polos de orden inferior, en relación con la regularización dimensional. Esto potencialmente nos deja abiertos a divergencias que no se cancelan entre diagramas. Sin embargo, aún no tengo ningún ejemplo en el que esto falle.

parker · Answer 2

No tengo una respuesta precisa, pero creo que la forma en que la gente piensa sobre la relación ha cambiado con el tiempo y entre subcampos. En la física de la materia condensada, todo el mundo siempre fue consciente de que la imagen de la teoría de campos se rompe a escala atómica, por lo que sus predicciones se vuelven inútiles a energías suficientemente altas (que en realidad son accesibles experimentalmente). Entonces, la gente de CM siempre ha pensado en RG en el sentido de corte wilsoniano (incluso antes de que el propio Wilson formalizara el concepto) como lo que realmente está sucediendo "detrás de escena", incluso cuando usan dim reg como un atajo práctico de cálculo.

Por otro lado, hace décadas, antes de que nadie se preocupara realmente por la gravedad cuántica, se creía que las QFT de alta energía podían, en principio, dar una descripción exacta de la física en todas las escalas de energía, por lo que a los físicos de alta energía no les gustaba mucho usar la conceptualización de corte para teorías "fundamentales" como SM: parecía artificial y artificial, ya que no hay un valor natural conocido para el corte. (Supongo que estaban más de acuerdo con eso en teorías de campos efectivos explícitos como la teoría de decaimiento beta de Fermi, donde hay un corte natural). Así que prefirieron el enfoque dim reg, ya que es matemáticamente sombrío y físicamente misterioso, pero al menos no invoca un límite explícito.

Creo que las dos escuelas de pensamiento han convergido en gran medida en las últimas décadas, porque (a) Wilson hizo un gran progreso al hacer que la noción previamente confusa de un corte de energía sea mucho más precisa y rigurosa, y (b) la gente comenzó a tomar en serio la gravedad cuántica, y aceptando que el SM ciertamente se romperá en la escala de Planck (si no mucho antes). Así que ahora la gente en amboslos campamentos tienden a pensar en los QFT como teorías efectivas de longitud de onda larga con "microscópicos" desconocidos, y que los dos formalismos de regularización probablemente sean completamente equivalentes (aunque no creo que nadie lo haya probado rigurosamente). Pero como un vestigio histórico anterior a esta "síntesis", los físicos de alta energía tienden a presentar los dos formalismos por separado y no se centran en sus conexiones conceptuales, porque así es como lo aprendieron ellos mismos.

De todos modos, lamento no responder realmente a su pregunta real.

rparwani · Answer 3

Incluso los físicos de alta energía están interesados en teorías efectivas ("wilsonianas") de baja energía, ya que algunos cálculos (por ejemplo, estados ligados) son mucho más fáciles en teorías efectivas.

Pero prefieren la regularización dimensional, ya que es el esquema más fácil que preserva las simetrías de Lorentz y calibre sin las cuales uno se desvía fácilmente de las conclusiones.

Echa un vistazo, por ejemplo, a esta reseña de Georgi

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