"Correr con impulso ppp" frente a "correr con escala de renormalización μμ\mu"

La carga/acoplamiento renormalizado en QFT generalmente se expresa como escala de renormalización$\mu$dependiente$\alpha(\mu)$en el marco del grupo de renormalización. Pero, ¿podemos tomar el ángulo más esclarecedor de "impulso$p$o$p^2$dependiente"$\alpha(p^2)$? La escala de renormalización$\mu$, tal como se enseña en la mayoría de los libros de texto de QFT (a menudo presentado de manera poco intuitiva como el parámetro de escala en la regularización dimensional), es desconcertante para los nuevos estudiantes en lugar de clarificar.

Arrojemos algo de luz sobre la escala de renormalización$\mu$con un ejemplo sencillo de

$$x(t) = ln(t/t_0) + x_0.$$ (en el contexto de la física, traducido a $$\alpha(p) = ln(p/\mu) + \alpha_0$$ con$\alpha$siendo la constante de acoplamiento,$p$siendo impulso,$\mu$siendo la escala de renormalización, respectivamente)

La variable$x$es la solución de una ecuación diferencial de primer orden ($\beta$-funcion de

$$\beta (x) = dx(t)/dln(t) = 1,$$ con la condición inicial $$x(t)|_{t = t_0} = x_0.$$

La "escala de funcionamiento con renormalización$\mu$"el enfoque equivale a considerar$x(t, t_0, x_0)$como la solución a una ecuación diferencial alternativa (diferenciando contra el punto de condición inicial$t_0$, cual es$\mu$en el contexto de la física)

$$\beta '(x) = dx(t_0)/dln(t_0) = -1,$$ con la condición inicial $$x(t_0)|_{t_0 = t} = x_0.$$ ¿Es realmente útil esta forma perversa y traviesa de ver la ecuación diferencial original (o solo aumenta la confusión)?

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Echemos un vistazo a otro ejemplo de energía propia.$\Sigma(\not{p})$en el propagador de fermiones

$$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(\not{p})+i\epsilon}$$ donde la energía propia$\Sigma(\not{p})$puede expresarse generalmente como $$\Sigma(\not{p}) = a(p^2) + b(p^2)\not{p}.$$ Para simplificar nuestra discusión, supongamos que (lo que significa que no hay renormalización de la función de onda) $$b(p^2) = 0.$$ Si expandimos aún más la energía propia como $$\Sigma(p^2) = a(p^2) = m_0' + c_1p^2 + c_2p^4 + ...$$ vamos a averiguar que$m_0'$es divergente, mientras que$c_1$y$c_2$son finitos. Todo el asunto de la renormalización masiva (matemáticamente turbio) depende de la suposición de que $$m_r = m_0 + m_0'$$ es finito (o equivalentemente,$m_0 = m_r - m_0'$, acerca de$m_0'$como contratérmino de masa), de modo que el propagador de fermiones $$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(p^2)+i\epsilon}$$ $$= \frac{i}{\not{p}- (m_r + c_1p^2 + c_2p^4 + ...) + i\epsilon}$$ es finito y bien definido.

Tenga en cuenta que mientras$m_0$y$m_0'$son divergentes, finitos$m_r$(no es la masa del polo físico$m_p$, a menos que$c_1= c_2 = 0$) se puede determinar por experimentación.

Por otro lado, los coeficientes finitos$c_1$y$c_2$se puede calcular ($d\Sigma(p^2)/dp^2$y$d^2\Sigma(p^2)/(dp^2)^2$son finitos, ¡es genial! Tiene que ver con la renormalizabilidad/contratérminos locales de QFT renormalizable), para que sepamos cómo funciona la energía propia.$\Sigma(p^2)$(o más precisamente, el finito y bien definido$m_0 + \Sigma(p^2) = m_r + c_1p^2 + c_2p^4 + ...$) funciona con impulso/energía$p^2$.

Toda la discusión anterior sobre el funcionamiento de$\Sigma(p^2)$NO depende de la escala de renormalización$\mu$¡en absoluto!

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Actualizar:

"¿Se pueden usar esquemas de renormalización sin$\mu$"? Seguramente uno puede, sin recurrir a ningún tipo de RG (ya sea wilsoniano/polchinskiano/wetterrichiano RG o perturbativo QFT RG). Simplemente reanude la serie geométrica (¡así es como Landau encontró el polo de Landau!) de los diagramas de Feynman a la , 1/N (t'Hooft), aproximación arcoíris/escalera, etc. Hay toneladas de formas alternativas de lograr esta llamada mejora de RG sin invocar RG acompañada de la ilusión$\mu$.